随机规划中的分布鲁棒优化与φ-散度 基本概念引入 在传统随机规划中，我们假设不确定参数服从某个已知概率分布。然而实际中，真实分布往往难以精确获取。分布鲁棒优化通过考虑一个包含可能分布的集合（不确定集）来应对这一问题。φ-散度是衡量两个概率分布差异的工具，用于构造分布不确定集。 φ-散度的数学定义 设P和Q为同一可测空间上的两个概率分布，且P关于Q绝对连续。φ-散度定义为： \( D_ \phi(P\|Q) = \int \phi\left(\frac{dP}{dQ}\right) dQ \) 其中φ是凸函数，满足φ(1)=0。常见特例包括： Kullback-Leibler散度（φ(t)=t log t） χ²散度（φ(t)=(t-1)²） Burg熵（φ(t)=-log t） 分布不确定集的构建 以参考分布\( Q \)为中心，用φ-散度构造球型不确定集： \( \mathcal{U} \epsilon(Q) = \{P \ll Q: D \phi(P\|Q) \leq \epsilon \} \) 其中ε控制保守程度。该集合保留了分布的结构信息，且能通过共轭对偶转化为可计算形式。 分布鲁棒模型的对偶转化 考虑优化问题： \( \min_ x \sup_ {P \in \mathcal{U}_ \epsilon(Q)} \mathbb{E} P[ f(x,\xi) ] \) 利用φ函数的共轭函数φ* ，可证明其对偶形式等价于： \( \min_ x \inf {\lambda \geq 0} \left\{ \lambda \epsilon + \mathbb{E}_ Q\left[ \phi^* \left( \frac{f(x,\xi)-\eta}{\lambda} \right) \right ] + \eta \right\} \) 这一转化将无限维问题简化为有限维优化。 实际计算策略 对偶问题可通过样本平均近似求解： 从参考分布Q生成N个样本{ξ₁,...,ξ_ N} 用蒙特卡洛估计期望项 结合随机梯度下降或顺序凸规划求解参数(x,λ,η) 计算复杂度与样本量线性相关，且具有渐近收敛保证。 应用场景与优势 该方法在金融风险管理、供应链优化中尤为有效： 投资组合优化中控制尾部风险 库存管理应对需求分布不确定性 与传统鲁棒优化相比，避免过度保守性 比单一分布假设的随机规划更稳健