数学物理方程中的拟线性偏微分方程 我们先从拟线性偏微分方程的定义开始。如果一个偏微分方程关于未知函数的最高阶导数是线性的，但系数可以依赖于未知函数及其低阶导数，那么它就是拟线性的。 具体来说，考虑一阶拟线性偏微分方程。它的一般形式可以写作： \[ a_ 1(x_ 1, \dots, x_ n, u) \frac{\partial u}{\partial x_ 1} + a_ 2(x_ 1, \dots, x_ n, u) \frac{\partial u}{\partial x_ 2} + \dots + a_ n(x_ 1, \dots, x_ n, u) \frac{\partial u}{\partial x_ n} = b(x_ 1, \dots, x_ n, u) \] 其中 \( u = u(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) \) 是未知函数。注意，系数 \( a_ i \) 和 \( b \) 可以依赖于未知函数 \( u \) 本身，但方程对 \( u \) 的一阶偏导数 \( \frac{\partial u}{\partial x_ i} \) 是线性的。 为了求解这样的方程，我们引入特征线法。其核心思想是将偏微分方程转化为一组常微分方程，即特征方程。对于上述方程，其特征方程为： \[ \frac{dx_ 1}{a_ 1} = \frac{dx_ 2}{a_ 2} = \dots = \frac{dx_ n}{a_ n} = \frac{du}{b} \] 这个方程组定义了一族曲线，称为特征曲线。沿着每一条特征曲线，偏微分方程简化为常微分方程，从而可以求解。 我们通过一个具体的例子来说明这个过程。考虑输运方程的一个非线性变体： \[ u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] 这里，\( a_ 1 = u \), \( a_ 2 = 1 \), \( b = 0 \)。其特征方程为： \[ \frac{dx}{u} = \frac{dy}{1} = \frac{du}{0} \] 由 \( \frac{du}{0} \) 可知，沿着特征线，\( u \) 是常数，即 \( u = \text{常数} \)。再由 \( \frac{dx}{u} = dy \)，并利用 \( u \) 为常数，积分得 \( x = u y + \text{常数} \)。因此，特征线是直线族 \( x - u y = \text{常数} \)。 假设初始条件为 \( u(x, 0) = f(x) \)。那么，沿着通过点 \( (s, 0) \) 的特征线，有 \( u = f(s) \)，且该特征线方程为 \( x = f(s) y + s \)。由此可得隐式解 \( u = f(x - u y) \)。这个关系式定义了 \( u \) 作为 \( x \) 和 \( y \) 的函数。 然而，拟线性方程的解可能出现奇性，即使初始条件非常光滑。例如，如果初始函数 \( f \) 是递减的，不同的特征线可能会相交。在相交点，解 \( u \) 会取多值，导致经典解在有限时间内破裂，形成激波。激波的出现是拟线性方程与线性方程的一个本质区别。 对于高阶拟线性偏微分方程，定义是类似的：方程对未知函数的最高阶偏导数是线性的，但系数可以依赖于未知函数及其所有低于最高阶的偏导数。高阶拟线性方程的求解通常更为复杂，但特征理论仍然是核心工具之一，只是特征方程和特征曲面会变得更加复杂。 拟线性偏微分方程在流体力学、气体动力学、非线性光学等领域有广泛应用，例如伯格斯方程、无粘可压缩流的欧拉方程等都是典型的拟线性方程。理解其特性和求解方法对于研究这些物理现象至关重要。