傅里叶变换在随机波动率模型下的期权定价

1. 基础概念铺垫
   首先需要理解三个核心组件：期权定价、随机波动率模型、傅里叶变换。期权定价的核心问题是如何计算未来收益的期望贴现值。随机波动率模型认为资产波动率本身也是随机过程，这更符合市场实际。傅里叶变换则是处理这类问题的数学工具，它能将复杂的概率密度函数转换为特征函数进行处理。

2. 随机波动率模型的数学表达
   在随机波动率框架下，资产价格S和波动率V遵循如下随机微分方程组：
   dS = μSdt + √VSdW₁
   dV = α(V,t)dt + β(V,t)dW₂
   其中dW₁dW₂ = ρdt，ρ是价格与波动率的相关系数。这类模型（如赫斯顿模型）能产生波动率微笑现象，但给定价带来计算困难。

3. 特征函数的关键作用
   傅里叶定价法的核心在于利用特征函数。对于随机变量X，其特征函数定义为φ(u)=E[e^(iuX)]。在随机波动率模型中，尽管资产价格的概率密度函数可能无解析形式，但其特征函数往往可以解析求得。例如在赫斯顿模型中，对数价格的特征函数可通过求解黎卡提方程得到。

4. 傅里叶反演定价技术
   已知特征函数后，可采用傅里叶反演计算期权价格。以看涨期权为例，其价格可表示为：
   C = e^(-rT) ∫_k^∞ (e^x - e^k)f(x)dx
   其中k为对数执行价格。通过将概率分布用特征函数表示，并应用留数定理，可将该积分转化为：
   C = S₀Π₁ - e^(-rT)KΠ₂
   其中Π₁、Π₂可通过特征函数的傅里叶积分计算得到。

5. 数值实现方法
   实际计算中常用快速傅里叶变换（FFT）或傅里叶余弦展开（COS方法）。FFT可高效计算一系列执行价格对应的期权价格，COS方法则利用余弦级数展开，通常具有指数收敛性。这些方法将复杂的偏微分方程求解转化为高效的数值积分问题。

6. 模型优势与应用
   该方法相比传统PDE或蒙特卡洛方法的优势在于：计算效率高（特别是需要计算大量期权价格时）、能处理复杂随机过程、便于模型校准。在现代量化金融中，这已成为随机波动率模型定价的标准方法之一。