量子力学中的谱分解

谱分解是量子力学中描述可观测量的核心数学工具。让我们从基础概念开始逐步深入：

1. 自伴算子的谱定理
   在量子力学中，可观测量对应着希尔伯特空间上的自伴算子。谱定理指出：任何自伴算子A都可以唯一地表示为：
   A = ∫ λ dE(λ)
   其中λ是实数（对应测量可能结果），E(λ)是谱族（投影算子值测度）。这个积分在谱测度意义下理解。

2. 谱族的概念
   谱族{E(λ)}是满足以下条件的投影算子族：

• 单调性：λ₁ ≤ λ₂ ⇒ E(λ₁) ≤ E(λ₂)
• 右连续性：lim_{ε→0⁺} E(λ+ε) = E(λ)
• 边界条件：lim_{λ→-∞} E(λ)=0, lim_{λ→+∞} E(λ)=I
  每个E(λ)投影到特征值小于等于λ的特征空间上。

3. 离散谱与连续谱
   当谱离散时，分解简化为：
   A = Σ λₙPₙ
   其中Pₙ是投影到特征值λₙ对应特征空间的投影算子。
   当谱连续时，需要引入谱测度dE(λ)，表示在区间(λ,λ+dλ]内找到测量值的概率幅。

4. 物理诠释
   对于态矢量|ψ⟩，测量结果在区间Δ内的概率为：
   P(Δ) = ⟨ψ|E(Δ)|ψ⟩
   其中E(Δ) = ∫_Δ dE(λ)是投影值测度。期望值为：
   ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = ∫ λ d⟨ψ|E(λ)|ψ⟩

5. 函数演算
   谱分解允许定义自伴算子的函数：
   f(A) = ∫ f(λ) dE(λ)
   这在时间演化算子e^{-iHt/ℏ}中特别重要，其中H是哈密顿算符。

6. 应用实例
   位置算符的谱分解：Q = ∫ x dE(x)，其中dE(x)投影到位置本征态|x⟩上。
   动量算符的谱分解通过傅里叶变换与位置算符相关联。
   哈密顿算符的谱分解决定了系统的能级结构和时间演化行为。