生物数学中的基因表达随机热力学信息几何模型

1. 基础概念：基因表达随机性与热力学框架
   基因表达是典型的随机生化过程，单个细胞中mRNA和蛋白质的分子数会因转录、翻译的随机性而波动。在热力学框架下，基因表达可视为非平衡态系统，需消耗能量维持有序状态。随机热力学通过概率分布描述系统状态，引入熵产生衡量不可逆性，为分析基因表达的能量-信息关系奠定基础。

2. 信息几何的数学工具
   信息几何将概率分布族视为微分流形，通过Fisher信息矩阵定义黎曼度量。例如，基因表达稳态分布构成的流形中，参数微小变化对应的KL散度可近似为 Fisher 度量的二次型。该几何结构揭示了参数敏感性与系统稳定性之间的内在关联。

3. 随机热力学与信息几何的融合
   在非平衡稳态下，基因表达系统的概率分布随时间演化，其梯度流可由Wasserstein度量描述。通过比较当前状态与稳态的几何距离，可量化系统趋近稳态的速率。同时，熵产生率与信息几何曲率关联，揭示噪声传递的物理约束。

4. 模型构建与动力学方程
   以两态基因模型为例，启动子在激活/抑制态间随机切换，mRNA与蛋白合成遵循泊松过程。系统的概率分布满足主方程，其信息几何结构通过计算Fisher信息矩阵显式表达。热力学力（如化学势差）驱动概率流，对应流形上的切向量场。

5. 应用：生物功能与极限分析
   该模型可推导基因传感的终极精度限（Cramér-Rao界），证明感知精度受能量消耗与噪声的联合约束。例如，细胞对外部信号的响应速度与能耗的权衡关系，可通过流形上的测地线优化求解，为生物学中的鲁棒性设计提供数学解释。