复变函数的柯西-黎曼方程在广义坐标系下的推广 让我们从基础概念开始，逐步深入理解这一主题。 1. 柯西-黎曼方程的标准形式回顾 在笛卡尔坐标系(x,y)中，柯西-黎曼方程表述为： ∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x 其中f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是复变函数，z=x+iy。这个形式确保了函数在一点可微的必要条件。 2. 极坐标形式的过渡 作为向广义坐标系推广的桥梁，极坐标形式为： ∂u/∂r = (1/r)∂v/∂θ 和 (1/r)∂u/∂θ = -∂v/∂r 这里z=re^iθ，通过坐标变换x=rcosθ, y=rsinθ推导得到。这个形式已经展现了坐标系变换对柯西-黎曼方程表达的影响。 3. 广义坐标系的基本概念 广义坐标系指的是任意光滑的坐标变换系统。设新坐标为(ξ,η)，通过变换关系： ξ=ξ(x,y), η=η(x,y) 其中雅可比行列式J=∂(ξ,η)/∂(x,y)≠0，保证变换的可逆性。 4. 复可微性在广义坐标系下的表达 在广义坐标系中，复可微性条件转化为： ∂f/∂ξ + i∂f/∂η = 0 这个简洁的形式包含了柯西-黎曼方程在广义坐标系下的本质内容。 5. 具体分量的展开形式 将f=u+iv代入上述条件，得到广义柯西-黎曼方程的具体形式： ∂u/∂ξ = ∂v/∂η ∂u/∂η = -∂v/∂ξ 这个形式与笛卡尔坐标形式相似，但坐标变量已经推广。 6. 度规张量的引入 在广义坐标系中，度规张量g_ ij起着关键作用： g_ 11 = (∂x/∂ξ)²+(∂y/∂ξ)² g_ 12 = g_ 21 = (∂x/∂ξ)(∂x/∂η)+(∂y/∂ξ)(∂y/∂η) g_ 22 = (∂x/∂η)²+(∂y/∂η)² 度规张量描述了坐标变换下的距离元素变化。 7. 完整的一般形式 结合度规张量，广义柯西-黎曼方程的完整形式为： (1/√g)(∂(u√g)/∂ξ) = (1/√g)(∂v/∂η) (1/√g)(∂(u√g)/∂η) = -(1/√g)(∂v/∂ξ) 其中g=det(g_ ij)是度规张量的行列式。 8. 应用意义 这个推广使得我们能在任意合适的曲线坐标系中研究复变函数的解析性，特别在解决边界形状复杂的问题时具有重要价值，如椭圆坐标系、抛物线坐标系等特殊坐标系下的复分析问题。