平行四边形的欧拉定理在n维空间中的推广 我们先从二维平面中的平行四边形开始理解。平行四边形是一个基本的几何形状，有两对平行边。在二维中，平行四边形的欧拉定理通常表述为：平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和。用数学公式表达，对于一个平行四边形ABCD，有： AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² 现在让我们考虑如何将这个定理推广到三维空间。在三维空间中，我们考虑平行六面体（即三维的"平行四边形"）。平行六面体的欧拉定理表述为：平行六面体所有棱长的平方和等于所有空间对角线长的平方和。对于一个长、宽、高分别为a、b、c的平行六面体，它有12条棱，4条空间对角线。定理可表示为： 4(a² + b² + c²) = 4(a² + b² + c²) （这实际上是恒等式，需要更精确的表述） 实际上，更准确的表述是：平行六面体各棱长的平方和等于所有面对角线平方和的一半。让我们重新整理这个思路。 在n维空间中，我们考虑n维平行多面体（n-parallelotope），它是平行四边形在n维空间的自然推广。n维平行多面体有2^n个顶点，每个顶点可以用n维坐标表示。 n维平行多面体的欧拉定理推广表述为：所有棱长的平方和等于所有主对角线长的平方和的一半。更精确地说，对于n维平行多面体，令所有边的向量为v₁, v₂, ..., v_ n，则： 所有2^n个顶点两两配对的平方距离之和 = 2^(n-1) × n × (||v₁||² + ||v₂||² + ... + ||v_ n||²) 让我用一个更具体的方式来解释。考虑n维平行多面体的顶点可以表示为： {∑ε_ i v_ i : ε_ i = 0或1}，其中v₁, v₂, ..., v_ n是生成这个平行多面体的边向量。 那么，任意两个顶点x和y之间的平方距离为： ||x - y||² = ||∑(ε_ i - δ_ i)v_ i||²，其中ε_ i, δ_ i ∈ {0,1} 通过计算所有顶点对之间的平方距离和，可以得到： ∑||x - y||² = 2^n × ∑||v_ i||² 这个结果就是平行四边形欧拉定理在n维空间的自然推广。当n=2时，这正好回到我们熟悉的平行四边形欧拉定理；当n=3时，这对应平行六面体的相关性质。 这个推广的重要性在于它揭示了高维几何中距离关系的内在统一性，将二维平面中的一个简单定理扩展到了任意维度的空间中。