完全乘法函数 在数论中，函数 \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{C} \) 称为完全乘法函数，如果对于任意正整数 \( m \) 和 \( n \)，都有： \[ f(mn) = f(m) f(n) \] 并且 \( f(1) = 1 \)。如果此等式仅对互质的 \( m \) 和 \( n \) 成立，则称 \( f \) 为乘法函数。 完全乘法函数的例子 幂函数 ：对于固定复数 \( \alpha \)，定义 \( f(n) = n^\alpha \)。则对任意 \( m, n \)： \[ f(mn) = (mn)^\alpha = m^\alpha n^\alpha = f(m) f(n) \] 且 \( f(1) = 1^\alpha = 1 \)，故为完全乘法函数。 刘维尔函数 ：定义 \( \lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)} \)，其中 \( \Omega(n) \) 是 \( n \) 的素因子总个数（计重数）。例如： \( \Omega(1) = 0 \)，故 \( \lambda(1) = (-1)^0 = 1 \)。 \( \Omega(p) = 1 \)，故 \( \lambda(p) = -1 \)（对素数 \( p \)）。 \( \Omega(p^k) = k \)，故 \( \lambda(p^k) = (-1)^k \)。 由于 \( \Omega(mn) = \Omega(m) + \Omega(n) \)，有： \[ \lambda(mn) = (-1)^{\Omega(mn)} = (-1)^{\Omega(m) + \Omega(n)} = (-1)^{\Omega(m)} (-1)^{\Omega(n)} = \lambda(m) \lambda(n) \] 故 \( \lambda \) 完全乘法。 单位函数 ：定义 \( \varepsilon(n) = \begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases} \)。则对任意 \( m, n > 1 \)，有 \( \varepsilon(mn) = 0 = \varepsilon(m) \varepsilon(n) \)，且 \( \varepsilon(1) = 1 \)，故完全乘法。 完全乘法函数的性质 由素数值决定 ：若 \( f \) 完全乘法，且 \( n = p_ 1^{a_ 1} p_ 2^{a_ 2} \cdots p_ k^{a_ k} \) 是标准素因数分解，则： \[ f(n) = f(p_ 1^{a_ 1}) f(p_ 2^{a_ 2}) \cdots f(p_ k^{a_ k}) = \prod_ {i=1}^k f(p_ i^{a_ i}) \] 因此，\( f \) 由其在素数幂 \( p^a \) 上的值完全确定。 狄利克雷卷积 ：若 \( f \) 和 \( g \) 完全乘法，则其狄利克雷卷积 \( (f * g)(n) = \sum_ {d|n} f(d) g(n/d) \) 不一定完全乘法，但若 \( f \) 和 \( g \) 乘法，则 \( f * g \) 乘法。 狄利克雷逆 ：若 \( f \) 完全乘法，则其狄利克雷逆 \( f^{-1} \)（满足 \( f * f^{-1} = \varepsilon \)）由下式给出： \[ f^{-1}(n) = \mu(n) f(n) \] 其中 \( \mu \) 是莫比乌斯函数。由于 \( \mu \) 乘法，\( f^{-1} \) 也乘法。 与乘法函数的区别 乘法函数只要求对互质 \( m, n \) 有 \( f(mn) = f(m) f(n) \)。例如欧拉函数 \( \varphi \) 是乘法但不是完全乘法，因为 \( \varphi(4) = 2 \)，但 \( \varphi(2) \varphi(2) = 1 \times 1 = 1 \neq 2 \)。 应用：刘维尔函数与ζ函数 刘维尔函数 \( \lambda \) 的狄利克雷级数为： \[ \sum_ {n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} \] 其中 \( \zeta(s) \) 是黎曼ζ函数。此恒等式在解析数论中用于研究素数分布。 总结 完全乘法函数由其在素数幂上的值唯一确定，且在许多数论问题中简化计算。理解其性质有助于研究更一般的乘法函数及相关的狄利克雷级数。