非线性规划中的广义既约梯度法 广义既约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method，GRG）是求解具有非线性约束优化问题的重要算法。让我通过以下步骤详细说明： 问题形式化基础 考虑标准形式的非线性规划问题： min f(x) s.t. g_ i(x) = 0, i = 1,...,m x ∈ R^n 其中f和g_ i都是连续可微函数，且m < n。这个形式包含了等式约束，不等式约束可以通过引入松弛变量转化为等式约束。 变量分解的核心思想 GRG法的关键步骤是将变量划分为基变量xB和非基变量xN： x = [ xB, xN ]^T 其中xB ∈ R^m，xN ∈ R^(n-m)。选择基变量的原则是保证约束梯度矩阵∇g(x)的对应m×m子矩阵非奇异，这样才能应用隐函数定理。 既约梯度的推导过程 利用约束条件g(xB, xN) = 0，根据隐函数定理，我们可以将基变量表示为非基变量的函数：xB = h(xN)。然后将原问题转化为仅关于非基变量的既约问题： min F(xN) = f(h(xN), xN) 既约梯度定义为：∇F(xN) = ∇xN f + (∇xB f)^T (∂h/∂xN) 实用的既约梯度计算 实际计算中，我们通过求解线性方程组得到既约梯度： ∇F(xN) = ∇xN f - (∇xB f)^T [ ∇xB g ]^{-1} ∇xN g 这个公式避免了显式求出函数h，而是通过求解线性系统来计算既约梯度。 算法的迭代框架 GRG法的基本迭代步骤如下： 在当前点x^k，计算既约梯度∇F(xN^k) 在非基变量空间确定下降方向dN 沿该方向进行线性搜索：xN^{k+1} = xN^k + αdN 通过牛顿法恢复基变量：xB^{k+1} = xB^k - [ ∇xB g ]^{-1} ∇xN g (xN^{k+1} - xN^k) 约束处理的修正机制 由于非线性约束的存在，简单的线性搜索后，新点可能不满足约束。因此需要修正步骤，通常采用牛顿法迭代： xB^{j+1} = xB^j - [ ∇xB g(xB^j, xN^{k+1}) ]^{-1} g(xB^j, xN^{k+1}) 直到‖g(xB^j, xN^{k+1})‖ < ε。 基变量更新的策略 在迭代过程中，当[ ∇xB g ]接近奇异时，需要重新选择基变量。常用的策略是监测基变量矩阵的条件数，当条件数过大时，通过列主元选择重新确定基变量集合。 收敛性分析 在适当的约束规格下（如线性独立约束规格），GRG法产生的序列至少收敛到稳定点。收敛速率通常是线性的，在目标函数和约束条件足够光滑时可能达到超线性收敛。