博雷尔-σ-代数的强可测性

强可测性是泛函分析中联系博雷尔结构与巴拿赫值函数可测性的重要概念。设\((X,\mathcal{F})\)为可测空间，\(B\)为巴拿赫空间，函数\(f:X\to B\)称为强可测，若存在一列简单函数\(\{f_n\}\)（即每个\(f_n\)取有限个值，且每个取值点的原像可测）使得：

\[\lim_{n\to\infty}\|f_n(x)-f(x)\|_B=0,\quad \forall x\in X \]

此定义要求\(f\)能被简单函数列按范数收敛逼近。

强可测性的等价刻画（彼得里斯定理）：以下条件等价：

1. \(f\)是强可测的
2. \(f\)是\(\mathcal{F}\)-可测的（即原像保持博雷尔集结构）且取值在可分子空间
3. 存在可数值函数列一致逼近\(f\)

与弱可测性的关系：若对任意连续线性泛函\(\varphi\in B^*\)，复合函数\(\varphi\circ f\)是可测的实值函数，则称\(f\)弱可测。强可测必弱可测，但反之不成立。反例考虑\(B=\ell^2([0,1])\)取特征函数\(f_t=\mathbf{1}_{\{t\}}\)，其弱可测但不强可测。

强可测函数的运算封闭性：

• 若\(f,g\)强可测，则\(\|f(\cdot)\|_B\)为实值可测函数
• 若\(\{f_n\}\)强可测且逐点收敛于\(f\)，则\(f\)强可测
• 对连续映射\(\Phi:B\to B_1\)，复合映射\(\Phi\circ f\)保持强可测性

在积分理论中的应用：强可测性是定义博赫纳积分的基础。设\(\mu\)为\(X\)上有限测度，\(f\)强可测，若

\[\int_X\|f(x)\|_B\,d\mu(x)<\infty \]

则可定义其博赫纳积分为简单函数积分的极限：

\[\int_X f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu \]

该极限在\(B\)中范数收敛且与逼近函数列选取无关。

与勒贝格可测性的对比：当\(B=\mathbb{R}\)时，强可测等价于通常的勒贝格可测。但在无穷维空间中，强可测性严格强于弱可测性，这体现了巴拿赫空间几何性质与测度论的深刻交互。