曲面的黎曼曲率张量 我们先从曲面的基本几何量开始理解。一个曲面在三维空间中的形状可以由第一基本形式（度量张量）描述，它告诉我们曲面上如何测量长度和角度。设曲面上某点处的度量张量分量为 \( g_ {ij} \)，其中 \( i,j = 1,2 \)。 为了描述曲面的弯曲，我们需要引入联络（克里斯托费尔符号）。联络描述了向量在曲面上平行移动时如何变化。克里斯托费尔符号定义为： \[ \Gamma^k_ {ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \partial_ i g_ {jl} + \partial_ j g_ {il} - \partial_ l g_ {ij} \right) \] 其中 \( g^{kl} \) 是度量张量的逆矩阵分量，\( \partial_ i \) 表示对第 \( i \) 个坐标的偏导数。 现在考虑曲面的曲率。黎曼曲率张量描述了向量平行移动绕无穷小闭合回路后的变化，它由度量张量及其一阶、二阶导数决定。在二维曲面上，黎曼曲率张量的分量由高斯曲率 \( K \) 完全确定： \[ R_ {1212} = K \det(g) \] 其中 \( \det(g) \) 是度量张量的行列式。 对于高维流形，黎曼曲率张量有更多独立分量。一般地，黎曼曲率张量定义为： \[ R^\rho_ {\sigma\mu\nu} = \partial_ \mu \Gamma^\rho_ {\nu\sigma} - \partial_ \nu \Gamma^\rho_ {\mu\sigma} + \Gamma^\rho_ {\mu\lambda} \Gamma^\lambda_ {\nu\sigma} - \Gamma^\rho_ {\nu\lambda} \Gamma^\lambda_ {\mu\sigma} \] 这个公式描述了坐标基向量沿两个不同方向的交换次序平行移动时产生的差异。 黎曼曲率张量具有重要的对称性： 反称性：\( R_ {ijkl} = -R_ {jikl} = -R_ {ijlk} \) 交换对称性：\( R_ {ijkl} = R_ {klij} \) 比安基恒等式：\( \nabla_ m R_ {ijkl} + \nabla_ k R_ {ijlm} + \nabla_ l R_ {ijmk} = 0 \) 在广义相对论中，黎曼曲率张量描述了时空的弯曲程度，物质和能量的分布通过爱因斯坦场方程与曲率联系起来。黎曼曲率张量为零是流形平坦的充要条件，这是欧氏几何与弯曲几何的根本区别。