曲面的测地曲率 我们先从曲线在曲面上的基本概念开始。想象你站在一个曲面上沿着一条曲线行走，比如在地球表面沿着一条路径行走。这条曲线在三维空间中的弯曲程度由它的曲率描述，但我们现在关心的是它在曲面"内部"的弯曲程度。 1. 曲面的切平面与法向量 在曲面上任意一点，都存在一个切平面，它是与该点附近曲面最接近的平面。过该点垂直于切平面的直线方向就是曲面的法线方向。这个法向量n描述了曲面在该点的"垂直"方向。 2. 曲线的曲率向量分解 当一条曲线位于曲面上时，它在任意点的曲率向量k可以分解为两个互相垂直的分量： 法曲率向量k_ n：沿着曲面法线方向的分量 测地曲率向量k_ g：位于切平面内的分量 数学表达式为：k = k_ n + k_ g 3. 测地曲率的精确定义 测地曲率κ_ g的大小等于曲率向量在切平面上的投影的长度。具体来说： κ_ g = k · (n × t) 其中t是曲线的单位切向量，×表示向量叉乘。 4. 测地曲率的几何意义 测地曲率衡量的是曲线在曲面"内部"的弯曲程度。如果一个人沿着曲面上的曲线行走，测地曲率描述的是他在切平面中看到的弯曲程度，而不考虑曲面本身在三维空间中的弯曲。 5. 测地曲率的性质 测地曲率是曲面的内蕴量，只依赖于曲面的第一基本形式 当κ_ g = 0时，曲线称为测地线，这是曲面上的"直线" 测地曲率在曲面的等距变换下保持不变 6. 测地曲率的计算公式 对于参数化曲线，测地曲率可以通过曲面的克里斯托费尔符号来计算。在给定曲面的第一基本形式系数后，可以建立测地曲率的具体表达式，这体现了它是曲面的内蕴性质。 理解测地曲率是研究曲面上的最短路径（测地线）和曲面内蕴几何的基础。