非线性规划中的积极集SQP方法 我将为您详细讲解非线性规划中积极集SQP方法的相关知识。 步骤1：理解基本问题背景 积极集SQP方法要解决的是带有不等式约束的非线性优化问题： min f(x) s.t. c_ i(x) ≥ 0, i = 1,...,m 其中f(x)和目标函数c_ i(x)都是非线性函数。这类问题在实际工程中广泛存在。 步骤2：认识积极约束的核心概念 在最优解x 处，有些约束是"积极"的（即c_ i(x ) = 0），有些是"非积极"的（c_ i(x* ) > 0）。积极约束集A(x* ) = {i | c_ i(x* ) = 0}决定了问题的局部结构，因为非积极约束在x* 附近不影响可行性。 步骤3：掌握SQP方法的基本思想 序列二次规划(SQP)通过求解一系列二次规划子问题来逼近原问题。在第k次迭代时，我们构造二次规划： min ∇f(x_ k)^T d + ½d^T B_ k d s.t. c_ i(x_ k) + ∇c_ i(x_ k)^T d ≥ 0, i = 1,...,m 其中B_ k是拉格朗日函数的Hessian矩阵或其近似。 步骤4：理解积极集策略的作用 在SQP框架中，积极集策略用于识别当前迭代点的有效约束。具体来说： 预测哪些约束在下一步可能变为积极 只将可能积极的约束纳入工作集 减少计算量，避免处理所有约束 步骤5：掌握算法的工作流程 初始化：给定初始点x_ 0，初始积极集估计W_ 0 迭代循环： a. 构造当前工作集W_ k（估计的积极约束） b. 求解对应的等式约束QP子问题 c. 计算搜索方向d_ k和拉格朗日乘子 d. 进行线搜索确定步长α_ k e. 更新迭代点x_ {k+1} = x_ k + α_ k d_ k f. 根据新的乘子信息更新积极集估计W_ {k+1} 步骤6：了解积极集更新规则 积极集的更新基于拉格朗日乘子： 如果λ_ i < 0，将对应约束从工作集中移除 如果遇到新约束边界，将其加入工作集 通过比值测试确保可行性 步骤7：认识方法的优势与局限 优势： 对中等规模问题效率高 利用问题的局部结构 超线性收敛速度 局限： 积极集识别可能出错 对大规模问题计算Hessian较贵 需要良好的初始积极集估计 这种方法特别适合解决具有大量约束但只有少量积极约束的非线性优化问题。