拉普拉斯算子的谱分解 我们先从拉普拉斯算子的定义开始。在三维笛卡尔坐标系中，拉普拉斯算子定义为： $$ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $$ 这个算子作用在函数上，给出函数在各个方向上的二阶偏导数之和。它出现在众多物理方程中，如静电场的泊松方程、热传导方程和量子力学的薛定谔方程。 接下来考虑有界区域上的拉普拉斯算子。设$\Omega$是$\mathbb{R}^n$中的有界区域，边界为$\partial\Omega$。我们考虑狄利克雷边界条件下的特征值问题： $$ \begin{cases} -\Delta u = \lambda u, & \text{在}\Omega内 \\ u = 0, & \text{在}\partial\Omega上 \end{cases} $$ 这个问题的解由一系列特征对$(\lambda_ n, u_ n)$组成，其中特征值$\lambda_ n$构成递增序列：$0 < \lambda_ 1 \leq \lambda_ 2 \leq \cdots \to \infty$。 现在进入谱分解的核心内容。根据希尔伯特空间理论，特征函数$\{u_ n\}$构成空间$L^2(\Omega)$的完备正交基。这意味着任意函数$f \in L^2(\Omega)$可以展开为： $$ f(x) = \sum_ {n=1}^\infty c_ n u_ n(x) $$ 其中系数$c_ n = \langle f, u_ n \rangle = \int_ \Omega f(x)u_ n(x)dx$。 拉普拉斯算子的谱分解可表示为： $$ -\Delta = \sum_ {n=1}^\infty \lambda_ n P_ n $$ 这里$P_ n$是到第$n$个特征函数张成的一维子空间上的投影算子： $$ P_ n f = \langle f, u_ n \rangle u_ n $$ 这个分解的重要性在于，它允许我们将拉普拉斯算子对角化。对于足够光滑的函数$f$，有： $$ -\Delta f = \sum_ {n=1}^\infty \lambda_ n c_ n u_ n $$ 这表明在特征函数基底下，拉普拉斯算子的作用简化为对角矩阵，对角线元素就是特征值。 谱分解还给出了热核的显式表达式。热传导方程的基本解可写为： $$ K(t,x,y) = \sum_ {n=1}^\infty e^{-\lambda_ n t} u_ n(x)u_ n(y) $$ 这个表达式清晰地展示了不同振动模式随时间衰减的规律，大特征值对应的模式衰减更快。 最后，韦尔渐近公式描述了特征值的分布规律。对于区域$\Omega \subset \mathbb{R}^n$，当$k \to \infty$时，有： $$ \lambda_ k \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(\omega_ n \text{vol}(\Omega))^{2/n}} $$ 其中$\omega_ n$是$\mathbb{R}^n$中单位球的体积。这个公式建立了几何特征（体积）与谱特性（特征值分布）的深刻联系。