非线性规划中的内点法 内点法是一类用于求解非线性规划问题的优化算法，其核心思想是通过在可行域内部构造一条路径，并沿该路径逐步逼近最优解。下面我将逐步介绍内点法的基本原理、关键技术和算法步骤。 第一步：问题描述与基本概念 考虑标准形式的非线性规划问题： min f(x) s.t. c_ i(x) = 0, i ∈ E c_ i(x) ≥ 0, i ∈ I 其中f(x)是目标函数，E是等式约束索引集，I是不等式约束索引集。内点法的关键特征是在迭代过程中始终保持在严格可行域内部（即满足c_ i(x)>0 for i∈I）。 第二步：障碍函数构造 通过引入对数障碍函数，将不等式约束融入目标函数： min f(x) - μ∑_ {i∈I} ln(c_ i(x)) s.t. c_ i(x) = 0, i ∈ E 其中μ>0称为障碍参数。当x接近边界时，ln(c_ i(x))会趋于-∞，从而自然阻止迭代点触碰边界。 第三步：最优性条件分析 对改造后的问题建立拉格朗日函数： L(x,λ,ν) = f(x) - μ∑ {i∈I} ln(c_ i(x)) + ∑ {i∈E} λ_ i c_ i(x) 其KKT条件包含： ∇f(x) - μ∑ {i∈I} (1/c_ i(x))∇c_ i(x) + ∑ {i∈E} λ_ i ∇c_ i(x) = 0 c_ i(x) = 0, i ∈ E 定义松弛变量s_ i = μ/c_ i(x) for i∈I，则KKT条件可改写为更对称的形式。 第四步：原始-对偶系统构建 引入对偶变量后，得到扩展的KKT系统： ∇f(x) + A_ E(x)^T λ + A_ I(x)^T s = 0 c_ i(x) = 0, i ∈ E c_ i(x) s_ i = μ, i ∈ I c_ i(x) > 0, s_ i > 0, i ∈ I 其中A_ E(x)和A_ I(x)分别是等式和不等式约束的雅可比矩阵。 第五步：路径跟踪策略 当μ→0时，障碍问题的解轨迹形成一条中心路径，收敛到原问题的最优解。算法通过以下步骤迭代： 预测子：求解线性化后的KKT条件，确定搜索方向 校正子：通过牛顿法修正非线性项的影响 步长控制：保证迭代点始终在可行域内部 参数更新：按规则减小μ值 第六步：算法实现细节 具体实现时需要处理： 初始点的构造：必须找到严格可行内点 搜索方向计算：求解大规模线性系统 自适应参数选择：μ的更新策略通常取μ_ {k+1} = σμ_ k，其中σ∈(0,1) 收敛准则：基于原始可行性、对偶可行性和互补间隙的判断 第七步：扩展与变体 现代内点法还包括： 非可行初值法：放松初始点必须严格可行的要求 原对偶内点法：同时更新原始变量和对偶变量 惯性流形技术：改进路径跟踪策略 非单调线搜索：增强全局收敛性 内点法特别适合处理大规模非线性规划问题，其计算复杂度通常与问题维度的多项式时间相关，在工程优化、经济均衡等领域有广泛应用。