曲面的可展曲面与可展条件 可展曲面是直纹曲面的一种特殊类型，其特点是能够在不拉伸或压缩的情况下精确展开成平面。下面逐步讲解其核心概念与判定条件。 1. 直纹曲面的定义 直纹曲面由一族直线（直母线）沿一条空间曲线（准线）运动生成。其参数方程为： \[ \mathbf{r}(u,v) = \boldsymbol{\alpha}(u) + v\,\mathbf{l}(u) \] 其中： \(\boldsymbol{\alpha}(u)\) 是准线； \(\mathbf{l}(u)\) 是直母线的方向向量； \(u\) 控制准线路径，\(v\) 控制直母线上的位置。 2. 可展曲面的特殊性质 可展曲面需满足更强的条件： 沿每条直母线，曲面拥有同一个切平面 。这意味着： 曲面局部与平面等距（高斯曲率 \(K=0\)）； 可精确展开为平面（如圆柱、圆锥）。 3. 可展条件的推导 对直纹曲面 \(\mathbf{r}(u,v)\)，需研究其切平面沿直母线的变化。切向量为： \[ \mathbf{r}_ u = \boldsymbol{\alpha}'(u) + v\,\mathbf{l}'(u), \quad \mathbf{r}_ v = \mathbf{l}(u). \] 切平面的法向量为 \(\mathbf{n} = \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\)。若沿直母线（固定 \(u\)）法方向不变，则需 \(\mathbf{n}\) 与 \(v\) 无关。通过分析可得条件： \[ [ \boldsymbol{\alpha}'(u), \mathbf{l}(u), \mathbf{l}'(u) ] = 0 \] 即混合积为零，表示三向量共面。 4. 可展曲面的分类 满足上述条件时，可展曲面仅有三类： 柱面 ：\(\mathbf{l}(u)\) 为常向量； 锥面 ：所有直母线交于一点（顶点），可选 \(\boldsymbol{\alpha}(u)\) 为顶点； 切线面 ：直母线为一条空间曲线的切线，即 \(\mathbf{l}(u) = \boldsymbol{\alpha}'(u)\)。 5. 高斯曲率的验证 通过计算第一、第二基本形式可得高斯曲率： \[ K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} = 0 \] 其中 \(E,F,G\) 和 \(L,M,N\) 为曲面的基本量。对于可展曲面，总有 \(LN-M^2=0\)。 6. 应用与意义 工程学 ：板材成型（如金属片弯折）需用可展曲面保证无撕裂； 几何建模 ：可展曲面便于参数化与展开为平面图案； 微分几何 ：可展曲面是高斯曲率恒零的完备曲面特例。 总结：可展曲面是直纹曲面的子类，其核心判定条件为直母线与准线切向量、直母线方向向量的变化率共面。这一性质保证了曲面与平面的局部等距性。