非线性规划中的序列二次规划方法 基本概念理解 序列二次规划（SQP）是求解具有非线性目标函数和约束条件的优化问题的重要迭代算法。其核心思想是：在每次迭代中，通过构造一个二次规划子问题来近似原非线性规划问题，并通过求解该子问题获得下一步的搜索方向。这个二次规划子问题包含以下关键要素： 使用当前迭代点的Hessian矩阵近似原问题的二阶信息 采用目标函数的梯度构建线性项 将非线性约束在当前点进行一阶泰勒展开化为线性约束 算法构建细节 SQP算法的数学描述如下： 考虑标准形式的非线性规划问题： min f(x) s.t. c_ i(x) = 0, i ∈ E c_ i(x) ≥ 0, i ∈ I 在第k次迭代时，在当前点x_ k处构造二次规划子问题： min 1/2 d^T ∇²L_ k d + ∇f_ k^T d s.t. ∇c_ i(x_ k)^T d + c_ i(x_ k) = 0, i ∈ E ∇c_ i(x_ k)^T d + c_ i(x_ k) ≥ 0, i ∈ I 其中∇²L_ k是拉格朗日函数在x_ k处的Hessian矩阵近似。 关键技术实现 (1) Hessian近似更新：采用BFGS或SR1等拟牛顿法更新拉格朗日函数的Hessian近似矩阵，避免直接计算二阶导数 (2) 步长控制：通过线搜索或信赖域方法确保迭代的全局收敛性 (3) 价值函数设计：通常使用精确罚函数作为价值函数来评估试探步的接受性 (4) 约束处理：有效集策略或内点法求解二次规划子问题 收敛性分析 在适当的正则性条件下（如LICQ约束规范条件），SQP算法具有： 局部超线性收敛：当迭代点充分接近最优解时 全局收敛：通过适当的价值函数和步长控制实现 二阶最优性条件保持：在收敛点满足KKT条件 实际应用考虑 实际实现时需要特别注意： 子问题可行性的保证机制 非凸问题的处理策略 大规模问题的计算效率优化 数值稳定性的维护 该方法特别适用于需要高精度解的中等规模非线性规划问题，在工程优化、经济建模等领域有广泛应用。