复变函数的法图域与动力系统 我们先从基本概念开始。在复动力系统中，我们研究的是复平面上的迭代过程：给定一个复变函数 \( f(z) \)，我们考虑其迭代序列 \( f^n(z) \)（即 \( f \) 的 \( n \) 次复合）的长期行为。 1. 法图集与茹利亚集回顾 法图集（Fatou set）是那些初始值 \( z_ 0 \) 的集合，使得在 \( z_ 0 \) 的某个邻域内，迭代序列 \( \{f^n\} \) 的行为是"规则"的（即构成正规族）。 茹利亚集（Julia set）是法图集的补集，其中迭代行为是混沌的。 2. 法图域的分类 法图集由若干个连通分支组成，每个连通分支称为一个法图域（Fatou domain）。根据迭代行为，法图域可分为以下几类： (1) 周期域 如果存在最小正整数 \( p \) 使得 \( f^p(U) \subseteq U \)，则称 \( U \) 为周期为 \( p \) 的周期域 特别地，当 \( p = 1 \) 时称为不变域 (2) 吸引域 如果周期域 \( U \) 包含一个吸引性周期点 \( z_ 0 \)（即 \( |(f^p)'(z_ 0)| < 1 \)） 在 \( U \) 内，所有点的迭代轨道都收敛到该周期轨道 (3) 超吸引域 吸引域的特例，其中 \( (f^p)'(z_ 0) = 0 \) 收敛速度比普通吸引域更快 (4) 抛物域 如果周期点 \( z_ 0 \) 满足 \( |(f^p)'(z_ 0)| = 1 \) 且为有理数 轨道沿特定方向缓慢收敛到周期点 (5) 西格尔盘 周期点 \( z_ 0 \) 满足 \( |(f^p)'(z_ 0)| = 1 \) 且为无理数 在域内存在共形映射将 \( f^p \) 变为无理旋转 (6) 赫尔曼环 双曲环域，在其上 \( f^p \) 共形共轭于无理旋转 这是西格尔盘在非单连通域中的对应物 3. Sullivan 非游荡域定理 这是复动力系统的重大突破：每个法图域最终都是周期的 更精确地说：存在 \( m \) 使得 \( f^m(U) \) 是周期域 这意味着法图域只有有限多种拓扑类型 4. 法图域的边界性质 每个法图域的边界都包含在茹利亚集中 实际上，茹利亚集就是所有法图域边界的并集 法图域的边界通常具有分形结构 5. 动力系统中的分类定理 对于有理函数 \( R(z) \)，其法图域完全由以下类型组成： 吸引域和超吸引域 抛物域 西格尔盘 赫尔曼环 6. 计算与识别 在实际研究中，我们通过： 计算周期点的乘子（导数的模和辐角） 分析临界点的轨道（因为每个吸引域至少包含一个临界点） 使用共形映射和线性化方法研究局部动力学 7. 应用意义 法图域的研究帮助我们理解： 复杂系统的稳定区域 分形结构的形成机制 混沌与秩序在迭代过程中的共存关系 这个理论将复分析的正规族理论与动力系统的长期行为研究完美结合，揭示了复迭代中深刻的几何与拓扑结构。