幂等元 幂等元是代数学中一个基本而重要的概念。我们先从它的定义开始。 定义 设 \( R \) 是一个环（或更一般的代数结构）。一个元素 \( e \in R \) 称为幂等元，如果它满足： \[ e^2 = e. \] 换句话说，元素与自身相乘后仍等于自身。常见的例子包括： 在整数环中，0 和 1 都是幂等元。 在矩阵环中，幂等矩阵对应投影算子，例如 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。 幂等元的性质 幂等元具有以下基本性质： 若 \( e \) 是幂等元，则 \( 1 - e \) 也是幂等元（假设 \( R \) 有单位元 1）。 幂等元的乘积不一定幂等，但若两个幂等元 \( e, f \) 满足 \( ef = fe \)，则 \( ef \) 是幂等元。 幂等元在环同态下的像仍是幂等元。 幂等元与环的直和分解 幂等元与环的结构分解有紧密联系。设 \( e \) 是环 \( R \) 的幂等元，则： \[ R = eR \oplus (1-e)R, \] 其中 \( eR \) 和 \( (1-e)R \) 是 \( R \) 的左理想。若 \( e \) 是中心幂等元（即与所有元素交换），则上述分解是环的直和分解。 本原幂等元 一个幂等元 \( e \) 称为本原的，如果它不能写成两个非零正交幂等元之和（即不存在幂等元 \( e_ 1, e_ 2 \neq 0 \) 使得 \( e = e_ 1 + e_ 2 \) 且 \( e_ 1 e_ 2 = 0 \)）。本原幂等元在表示论中对应不可分解模。 幂等元在模论中的应用 设 \( M \) 是一个 \( R \)-模，若 \( e \) 是幂等元，则 \( eM \) 是 \( M \) 的子模，且： \[ M = eM \oplus (1-e)M. \] 这允许我们将模分解为更简单的部分研究。 通过以上步骤，我们逐步理解了幂等元的定义、性质及其在环结构和模分解中的作用。这一概念是研究代数结构分解的重要工具。