复变函数的柯西-黎曼方程与调和函数的关系 柯西-黎曼方程的基本形式 设复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 在区域 \( D \) 内解析，其中 \( z = x + iy \)，\( u, v \) 为实值函数。柯西-黎曼方程表述为： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \] 这一条件保证了 \( f(z) \) 的复可微性，且是解析函数的充要条件。 实部与虚部的调和性 对柯西-黎曼方程中的关系式分别对 \( x \) 和 \( y \) 求偏导： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}. \] 若 \( v \) 的二阶混合偏导连续（解析函数自动满足），则 \( \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} \)。将两式相加得： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \] 同理可证 \( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \)。这表明 \( u \) 和 \( v \) 均为 调和函数 ，即满足拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \)。 共轭调和函数 若 \( u \) 和 \( v \) 是某个解析函数的实部与虚部，则称 \( v \) 是 \( u \) 的 共轭调和函数 （反之亦然）。两者通过柯西-黎曼方程关联：已知 \( u \) 时，可通过积分求 \( v \)： \[ v(x, y) = \int_ {(x_ 0, y_ 0)}^{(x, y)} -\frac{\partial u}{\partial y} dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy + C, \] 路径无关性由 \( u \) 的调和性保证。 调和函数与解析函数的等价性 任意调和函数 \( u \) 在单连通区域内必存在共轭调和函数 \( v \)，使得 \( f = u + iv \) 解析。 此性质将调和函数的研究转化为解析函数问题，例如利用柯西积分公式导出泊松积分公式，用于求解狄利克雷问题。 应用示例：平面静电势问题 静电场中的电势 \( u(x, y) \) 在无电荷区域满足拉普拉斯方程。通过求其共轭调和函数 \( v \)，可构造复电势 \( f(z) = u + iv \)，其中 \( v \) 表示电场线函数。电场强度由 \( f'(z) \) 给出，幅角表示电场方向，模长表示场强大小。