复变函数的哈恩-巴拿赫定理的复形式 我们先从线性泛函的基本概念开始。在复线性空间中，线性泛函是从该空间到复数域的线性映射。具体来说，若X是复线性空间，则线性泛函f: X → ℂ满足f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)，对所有x,y∈X和复数α,β成立。 接下来考虑范数的概念。在复赋范空间中，每个向量都有确定的范数（长度）。线性泛函的范数定义为‖f‖ = sup{|f(x)| : ‖x‖≤1}，这衡量了泛函的"大小"。 现在引入哈恩-巴拿赫定理的实形式作为铺垫。实形式断言：在实赋范空间的子空间上定义的实线性泛函，可以保范延拓到整个空间。这意味着如果一个线性泛函在子空间上有界，那么存在整个空间上的线性泛函，既保持原来的函数值，又不增大范数。 对于复情况，情况更为微妙。复哈恩-巴拿赫定理的关键在于处理复线性性。复线性泛函f可以唯一表示为f(x) = u(x) - iu(ix)，其中u是实线性泛函。这个表示利用了复数的代数结构，将复泛函分解为两个实部。 复哈恩-巴拿赫定理的完整表述是：设X是复赋范空间，M是X的子空间，f是M上定义的复线性泛函。那么存在X上的复线性泛函F，满足：(1) F|ₘ = f（在M上与f一致）；(2) ‖F‖ = ‖f‖（范数保持不变）。 证明这个定理需要精巧的构造。基本思路是：先将复泛函f分解为实部u = Re(f)，然后对实部u应用实哈恩-巴拿赫定理进行延拓得到U，最后通过公式F(x) = U(x) - iU(ix)重构出复线性泛函F，并验证其满足所需性质。 这个定理有深刻的应用价值。在复分析中，它保证了足够多的复线性泛函存在，使得我们可以用泛函来研究空间性质。在算子理论中，它为各种泛函延拓问题提供理论基础，也是研究复函数空间结构的重要工具。 特别值得注意的是，复哈恩-巴拿赫定理不仅是一个存在性定理，它还保持范数不变，这在许多极值问题的研究中至关重要。例如，在复插值理论和复逼近理论中，这一定理保证了某些最佳逼近元的存在性。