曲面的曲率线 曲率线是曲面上具有特殊曲率性质的曲线。要理解这个概念，我们需要从曲面的基本几何量开始，逐步深入。 首先，回忆曲面的两个基本二次型：第一基本形式度量曲面的内蕴几何（如弧长、角度），第二基本形式描述曲面在空间中的弯曲程度。在曲面上任意点P，沿切方向dr，法曲率k_ n由第二基本形式与第一基本形式的比值决定：k_ n = II/I。 关键的一步是理解法曲率随方向变化的关系。在点P的切平面中取一个单位切向量du:dv，法曲率k_ n是方向比的函数。欧拉公式给出了法曲率的极值性质：存在两个互相垂直的主方向，对应的法曲率取最大值k₁和最小值k₂（主曲率）。 现在，曲率线的定义就自然出现了：曲面上的一条曲线，如果其上每点的切线方向都是该点的一个主方向，那么这条曲线称为曲率线。换句话说，曲率线是"始终沿着主方向"的曲线。 曲率线的一个重要性质是罗德里克方程：dn = -k·dr，其中n是单位法向量，k是沿曲线方向的主曲率。这个方程建立了法向量变化与切线方向变化之间的简洁关系，是判断曲率线的实用准则。 在曲面上，曲率线构成一个正交网。通过适当的参数化（曲率线坐标），第一基本形式和第二基本形式都可以对角化，这大大简化了曲面的几何分析。特别地，在这种参数化下，F = 0且M = 0。 不同曲面上的曲率线有不同的特征： 在球面上，任何大圆都是曲率线 在旋转曲面上，经线和纬线都是曲率线 在可展曲面上，直母线与垂直方向构成曲率线网 曲率线在工程中有重要应用，如在壳体结构分析中，沿曲率线方向的应力分布有特殊性质；在计算机图形学中，曲率线用于曲面的特征描述和网格生成。