复变函数的黎曼曲面与分支点 我们先从多值函数的概念开始。考虑复对数函数 \( \log z \)，它满足 \( e^{\log z} = z \)。由于指数函数以 \( 2\pi i \) 为周期，\( \log z \) 实际上有无穷多个值：\( \operatorname{Log} z + 2k\pi i \)（\( k \in \mathbb{Z} \)，\( \operatorname{Log} z \) 为主值）。这类多值函数在复平面上无法单值定义，为此需要引入黎曼曲面的概念。 黎曼曲面的核心思想是将多值函数转化为其定义域上的单值函数。具体做法是：将函数的值域拆分为多个"叶"，每叶对应函数的一个单值分支，再将这些叶以适当方式连接。以平方根函数 \( w = \sqrt{z} \) 为例，它在原点外有两个不同分支。我们取两个复平面副本（称为叶），沿负实轴剪开。在第一叶上取一支平方根，在第二叶上取另一支，然后将两叶的切口边缘交叉粘合：第一叶的上岸与第二叶的下岸相连，第一叶的下岸与第二叶的上岸相连。这样得到的曲面就是 \( \sqrt{z} \) 的黎曼曲面，在该曲面上 \( \sqrt{z} \) 成为单值函数。 分支点是黎曼曲面上的特殊点。设 \( f(z) \) 是多值函数，\( z_ 0 \) 是分支点，若当动点 \( z \) 绕 \( z_ 0 \) 旋转一周时，函数值从一个分支变为另一分支。更精确地，考虑绕 \( z_ 0 \) 的小环路 \( \gamma \)，若 \( f \) 沿 \( \gamma \) 的解析延拓不回到初始分支，则 \( z_ 0 \) 是分支点。分支点可分为代数分支点和超越分支点。对 \( w = z^{1/n} \)，原点是一阶代数分支点（绕行 \( n \) 周后回到初始分支）；而对 \( w = \log z \)，原点和无穷远点是对数分支点（绕行一周后永不回到初始分支）。 黎曼曲面的构造可通过复叠空间实现。设 \( S \) 是黎曼曲面，\( p: S \to \mathbb{C} \) 是全纯映射。若对每个 \( z_ 0 \in \mathbb{C} \)，存在邻域 \( U \) 使得 \( p^{-1}(U) \) 是不交开集的并，且在每个开集上 \( p \) 是同构，则 \( (S, p) \) 是 \( \mathbb{C} \) 的复叠空间。多值函数的黎曼曲面就是其反函数的复叠空间。 黎曼曲面的拓扑性质由亏格描述。对代数函数 \( w = f(z) \) 满足多项式方程 \( P(z, w) = 0 \)，其黎曼曲面的亏格由方程的次数决定。根据黎曼-胡尔维茨公式，若覆盖映射有 \( n \) 个分支点，各分支点重数分别为 \( r_ 1, \dots, r_ n \)，则曲面的欧拉示性数 \( \chi = n(2 - \sum(1 - 1/r_ i)) \)，亏格 \( g = (2 - \chi)/2 \)。 黎曼曲面的单值化定理指出：单连通的黎曼曲面必共形等价于黎曼球面、复平面或单位圆盘。对一般黎曼曲面，其万有复叠曲面是这三者之一，且曲面本身可表示为复叠曲面模去某种离散群的作用。