量子力学中的Weyl不变性 我将为您详细讲解量子力学中的Weyl不变性，这是一个连接量子力学与几何对称性的重要概念。 第一步：理解Weyl变换的基本概念 Weyl不变性源于Weyl变换，这是德国数学家Hermann Weyl提出的一种几何变换。在微分几何中，Weyl变换是指对度规张量进行如下标度变换： g_ {μν}(x) → e^{2σ(x)} g_ {μν}(x) 其中σ(x)是时空点的任意光滑函数。这意味着我们在每个时空点以不同的比例"拉伸"或"压缩"度规，但保持所有角度不变——这是一种保形变换。 第二步：经典场论中的Weyl不变性 在经典场论层面，一个理论具有Weyl不变性，如果其作用量在Weyl变换下保持不变（可能差一个边界项）。例如，无质量标量场在弯曲时空中的作用量： S = ∫ d⁴x √{-g} g^{μν} ∂ μφ ∂ νφ 在Weyl变换 g {μν} → e^{2σ} g {μν} 和 φ → e^{-σ} φ 下保持不变。这里场的变换规则与度规的变换协调，确保整体不变性。 第三步：量子化过程中的Weyl反常 当我们从经典理论过渡到量子理论时，情况变得微妙。即使经典理论具有完美的Weyl不变性，量子化过程可能破坏这种对称性，这种现象称为Weyl反常或保形反常。 在路径积分量子化框架中，Weyl反常表现为： ⟨T^μ_ μ⟩ ≠ 0 其中T^μ_ μ是能量-动量张量的迹。在经典无质量理论中，这个迹应为零，但量子效应使其非零。 第四步：Weyl反常的计算与理解 Weyl反常可以通过Fujikawa方法计算，该方法考察路径积分测度在Weyl变换下的行为。对于二维保形场论，Weyl反常由中心荷c表征： ⟨T^μ_ μ⟩ = - (c/12) R 其中R是Ricci标量曲率。在四维情况下，表达式更复杂，涉及曲率不变量的线性组合。 第五步：Weyl不变性在量子引力中的重要性 Weyl不变性在量子引力研究中尤为重要： 在弦理论中，世界面上的Weyl不变性是量子一致性的必要条件 在保形引力中，Weyl不变性是理论的基石 在AdS/CFT对应中，边界场论的保形不变性与体理论的微分同胚不变性密切相关 第六步：Weyl不变性的物理后果 Weyl不变性对量子理论施加了强大约束： 关联函数必须满足特定的Ward恒等式 算子乘积展开具有特殊形式 谱结构受到限制（如存在真空态时，能谱必须连续） 在临界现象中，Weyl不变性对应着系统的标度不变性 理解Weyl不变性及其量子反常，是深入研究量子场论与量子引力之间深刻联系的关键环节。