模的内射维数 我们先从模的内射维数的定义开始。内射维数是衡量一个模离内射模“有多远”的数值不变量。 设 \( M \) 是一个环 \( R \) 上的模。\( M \) 的一个 内射分解 是指一个正合序列 \[ 0 \to M \to E^0 \to E^1 \to E^2 \to \cdots \] 其中每个 \( E^i \) 都是内射模。这样的分解总是存在的（因为每个模都可以嵌入到一个内射模中）。 这个分解的长度可以是无限的。如果存在一个有限的内射分解，即存在某个 \( n \) 使得 \[ 0 \to M \to E^0 \to E^1 \to \cdots \to E^n \to 0 \] 是正合的，并且 \( E^i \) 是内射模，那么我们就说 \( M \) 具有 有限内射维数 。此时，\( M \) 的内射维数 \( \text{id}_ R(M) \) 定义为最短的这样的 \( n \)。如果不存在有限的内射分解，我们就记 \( \text{id}_ R(M) = \infty \)。 接下来，我们来看内射维数的等价刻画。这通常是通过 Ext 函子 来描述的。 回忆一下，对任意 \( R \)-模 \( N \)，\( \text{Ext}^n_ R(N, M) \) 可以定义为将 \( N \) 用投射分解然后作用 \( \text{Hom}_ R(-, M) \) 得到的上同调，或者将 \( M \) 用内射分解然后作用 \( \text{Hom}_ R(N, -) \) 得到的上同调。 一个重要的刻画是： \[ \text{id}_ R(M) \le n \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Ext}^{n+1}_ R(N, M) = 0 \quad \text{对所有 } R\text{-模 } N。 \] 特别地，\( \text{id}_ R(M) = 0 \) 当且仅当 \( M \) 是内射模（因为这意味着 \( \text{Ext}^1_ R(N, M) = 0 \) 对所有 \( N \) 成立）。 现在，我们考虑内射维数与环的整体性质的关系。环 \( R \) 的 整体维数 （global dimension）定义为所有 \( R \)-模的投射维数的上确界，它也等于所有 \( R \)-模的内射维数的上确界。 更精确地，定义 \( R \) 的左整体维数为 \[ \text{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \text{pd}_ R(M) \mid M \text{ 是 } R\text{-模} \} = \sup \{ \text{id}_ R(M) \mid M \text{ 是 } R\text{-模} \}。 \] 这个等式是非平凡的，它表明用投射维数定义的整体维数和用内射维数定义的是一致的。 一个重要的特殊情况是 诺特环 。如果 \( R \) 是左诺特环，那么对任意有限生成左 \( R \)-模 \( M \)，有 \[ \text{id}_ R(M) = \sup \{ n \mid \text{Ext}^n_ R(R/I, M) \neq 0 \text{ 对某个左理想 } I \subseteq R \}。 \] 也就是说，要检验内射维数，我们只需要对形如 \( R/I \) 的模（其中 \( I \) 是左理想）来测试 Ext 函子的消失性。这大大简化了计算。 最后，我们来看一个具体的例子。设 \( R \) 是域 \( k \) 上的多项式环 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n] \)。那么 \( R \) 的整体维数是 \( n \)。考虑 \( R \)-模 \( k = R/(x_ 1, \dots, x_ n) \)。可以证明 \( \text{id}_ R(k) = n \)。事实上，\( \text{Ext}^n_ R(k, k) \neq 0 \)，而对所有 \( m > n \)，\( \text{Ext}^m_ R(N, k) = 0 \) 对所有 \( N \) 成立。因此 \( k \) 的内射维数就是 \( n \)，这也体现了环的整体维数。 总结一下，模的内射维数是一个重要的同调不变量，它既反映了模本身的结构性质，也与环的整体同调性质紧密相关。