双曲抛物面的主曲率与脐点 我们先从曲面的基本几何特征入手，逐步构建对双曲抛物面主曲率与脐点的理解。 第一步：曲面的局部几何描述 想象一个光滑曲面，比如一个马鞍面。在曲面上任意一点P，我们可以定义一个切平面，它是与该点附近曲面最贴合的一个平面。通过点P且垂直于切平面的直线称为法线。为了描述曲面在P点附近的弯曲情况，我们考察通过法线的平面（法截面）与曲面相交得到的曲线（法截线）的曲率，这称为法曲率。 第二步：主曲率的概念 当我们绕着点P的法线旋转法截面时，法曲率会连续变化。在这些法曲率中，存在一个最大值和一个最小值。这两个极值法曲率就称为曲面在点P的 主曲率 ，通常记为 k₁ 和 k₂ (k₁ ≥ k₂)。与这两个主曲率对应的法截线的方向，在切平面上是相互垂直的，这两个方向称为 主方向 。 第三步：脐点的定义 在曲面上，可能存在一些特殊的点。如果在某点P，所有方向的法曲率都相等，那么这个点P就称为一个 脐点 。在脐点处，主曲率 k₁ = k₂，并且该点的切平面内的任何方向都可以视为主方向。球面上的每一点都是脐点，因为从球心向外任何方向的法截线都是相同半径的圆（具有相同的曲率）。 第四步：双曲抛物面的引入 双曲抛物面是一个经典的曲面，其标准方程可以写为 z = x² / a² - y² / b² (或者 z = xy / c，通过坐标旋转可相互转化)。它的形状像一个马鞍。由于其方程是二次的，它也被称为 马鞍面 。一个关键特性是，它是一个 双重直纹面 ，即它同时存在两个不同族的直线（直母线）完全位于曲面上。 第五步：双曲抛物面的高斯曲率与平均曲率 通过计算曲面的第一和第二基本形式，我们可以得到双曲抛物面的两个重要的曲率不变量： 高斯曲率 (K) ：定义为两个主曲率的乘积，K = k₁ * k₂。对于双曲抛物面，其高斯曲率在所有点都是 负的 (K < 0)。这直观地反映了其马鞍形状：在一个主方向上是“向上”弯的（正曲率），在另一个垂直的主方向上是“向下”弯的（负曲率），一正一负相乘得到负的高斯曲率。 平均曲率 (H) ：定义为两个主曲率的平均值，H = (k₁ + k₂) / 2。对于标准方程 z = x² / a² - y² / b² 的双曲抛物面，其平均曲率并非恒定，但它在某些特定情况下（如 z = xy / c）可以为零，此时曲面是 极小曲面 。 第六步：双曲抛物面的主曲率计算与分析 对于双曲抛物面 z = x² / a² - y² / b²，我们可以通过求解其第二基本形式相对于第一基本形式的特征值问题，得到其主曲率的表达式。计算结果表明，其主曲率 k₁ 和 k₂ 异号（一个正，一个负），并且它们的值随着曲面上的位置 (x, y) 变化。在原点 (0,0,0) 处，曲率达到极值情况（例如，对于 z=xy，原点的主曲率为 ±1）。 第七步：双曲抛物面的脐点判定 现在，我们来回答核心问题：双曲抛物面是否有脐点？ 脐点的条件是 k₁ = k₂。对于双曲抛物面，由于其高斯曲率 K = k₁ * k₂ < 0 处处成立，如果存在脐点，即 k₁ = k₂ = k，那么 K = k² ≥ 0。这与 K < 0 矛盾。 因此，我们得出结论： 在光滑的双曲抛物面上，不存在任何脐点 。其主方向场在整个曲面（除了可能的奇点，但标准双曲抛物面无奇点）上是处处定义良好的，并且两个主方向彼此垂直，沿着曲面的直母线方向。