环的幂等元 我们先从最基础的概念开始。幂等元是环论中一类具有特殊性质的元素，它在环的结构分析和模论、表示论等领域都有重要应用。 第一步：幂等元的定义 设 \( R \) 是一个环（通常假设有乘法单位元 \( 1 \neq 0 \)）。一个元素 \( e \in R \) 称为幂等元，如果它满足 \( e^2 = e \)。换句话说，这个元素在环的乘法下是“自我保持”的。 第二步：平凡幂等元 在任何环中，元素 \( 0 \) (加法单位元) 和 \( 1 \) (乘法单位元) 总是幂等元，因为它们满足 \( 0^2 = 0 \) 和 \( 1^2 = 1 \)。这两个幂等元被称为平凡幂等元。如果一个环除了 \( 0 \) 和 \( 1 \) 之外没有其他的幂等元，则称其幂等元是平凡的。 第三步：非平凡幂等元的例子 考虑环 \( R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) (模6的剩余类环)。元素 \( \bar{3} \) 是一个幂等元，因为 \( \bar{3} \times \bar{3} = \bar{9} = \bar{3} \)。同样，元素 \( \bar{4} \) 也是幂等元，因为 \( \bar{4} \times \bar{4} = \bar{16} = \bar{4} \)。这个例子表明，一个环可以包含多个非平凡的幂等元。 第四步：幂等元与环的直和分解 幂等元最重要的性质之一是它们与环的直和分解密切相关。如果 \( e \) 是环 \( R \) 的一个幂等元，那么我们可以将 \( R \) 写成两个左理想的直和：\( R = Re \oplus R(1-e) \)。同样，也可以写成右理想的直和：\( R = eR \oplus (1-e)R \)。这里，\( 1-e \) 也是一个幂等元，并且 \( e(1-e) = (1-e)e = 0 \)，我们称 \( e \) 和 \( 1-e \) 是正交的幂等元。 第五步：中心幂等元 一个幂等元 \( e \) 如果位于环的中心 \( Z(R) \) (即与所有环元素交换)，则称为中心幂等元。中心幂等元在环的结构分解中扮演着核心角色。如果 \( e \) 是一个中心幂等元，那么 \( R \) 可以分解为两个环的直积：\( R \cong Re \times R(1-e) \)。这里 \( Re \) 和 \( R(1-e) \) 本身也是环，其乘法单位元分别是 \( e \) 和 \( 1-e \)。 第六步：本原幂等元 一个幂等元 \( e \) 称为本原的，如果它不能写成两个非零正交幂等元的和。也就是说，不存在幂等元 \( e_ 1, e_ 2 \neq 0 \) 使得 \( e = e_ 1 + e_ 2 \) 且 \( e_ 1 e_ 2 = e_ 2 e_ 1 = 0 \)。本原幂等元对应于环的“不可分”的成分，在 Artin 环和半单环的结构理论中至关重要。 第七步：幂等元提升 在考虑商环时，一个自然的问题是：如果 \( \bar{e} \) 是商环 \( R/I \) 中的一个幂等元，我们能否在 \( R \) 中找到一个幂等元 \( e \) 使得它在商映射下的像就是 \( \bar{e} \)？这引出了幂等元提升的概念。一个重要的情况是当理想 \( I \) 包含在环的 Jacobson 根中时，此时幂等元可以唯一提升（即如果 \( \bar{e} \) 是 \( R/I \) 的幂等元，则存在唯一的 \( R \) 的幂等元 \( e \) 映射到 \( \bar{e} \)）。