分析学词条：格林公式 我们先从格林公式的基本概念开始。格林公式是数学分析中一个重要的结果，它将平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分联系起来。为了理解它，我们需要先掌握几个基本概念。 1. 平面区域与边界曲线 考虑xy平面上的一个区域D。为了使格林公式成立，区域D通常需要是“性质良好”的。具体来说： D是一个有界区域（不会延伸到无穷远） D的边界∂D由有限条分段光滑的简单闭曲线组成 D是单连通的（没有“洞”）或者可以推广到多连通区域 2. 向量场与曲线积分 设有一个二维向量场F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))，其中P和Q是定义在包含D的某个开集上的函数。 沿着边界曲线∂D的曲线积分（环流量）定义为： ∮∂D Pdx + Qdy 这个积分表示向量场沿着边界曲线的环流。 3. 偏导数与连续性要求 要使格林公式成立，函数P(x,y)和Q(x,y)需要在包含D的某个开集上具有连续的一阶偏导数。这意味着∂P/∂y和∂Q/∂x在D上存在且连续。 4. 格林公式的陈述 格林公式指出： ∮∂D Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy 等号左边是沿着区域边界∂D的曲线积分，等号右边是在区域D上的二重积分。 5. 公式的直观理解 我们可以这样理解格林公式： 左边：向量场沿着边界曲线的环流 右边：向量场的“旋度”(∂Q/∂x - ∂P/∂y)在区域内的总和 公式表明，边界上的环流等于区域内旋度的总和，这反映了某种“局部性质决定整体行为”的思想。 6. 方向约定 在应用格林公式时，边界曲线∂D的方向很重要。我们采用标准约定：当沿着边界行走时，区域D始终在左侧。这称为正方向。 7. 基本证明思路 格林公式的证明通常通过以下步骤： 将区域D分解为x-型区域和y-型区域 对x-型区域证明：∬D (∂P/∂y) dxdy = -∮∂D Pdx 对y-型区域证明：∬D (∂Q/∂x) dxdy = ∮∂D Qdy 将两个结果相加得到格林公式 8. 应用举例：面积计算 格林公式的一个漂亮应用是计算平面区域的面积。取P = -y/2，Q = x/2，则∂Q/∂x - ∂P/∂y = 1/2 + 1/2 = 1，因此： 面积(D) = ∬D 1 dxdy = ∮∂D (-y/2)dx + (x/2)dy 这给出了用边界曲线积分计算区域面积的公式。 9. 物理意义 在物理学中，格林公式有重要应用： 在流体力学中，它联系了流体通过边界通量与内部的源汇 在电磁学中，它体现了电场或磁场在边界上的行为与内部性质的关系 10. 与其它定理的关系 格林公式实际上是更一般定理的特例： 它是斯托克斯定理在二维情形的特例 它也与散度定理密切相关 在复分析中，它支撑了柯西积分定理 格林公式的重要性在于它建立了区域内部性质与边界行为之间的深刻联系，这种联系在偏微分方程、流体力学和电磁学等许多领域都有广泛应用。