曲面的可展曲面与可展条件 我们先从曲面的基本概念开始。一个曲面在三维空间中通常由参数方程描述，例如 \( \mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \)。为了理解可展曲面，我们需要先掌握曲面的切平面概念。 曲面上任意一点 \( P \) 处的切平面是由该点处所有切向量张成的平面。具体地，曲面的两个偏导向量 \( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \) 和 \( \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \) 构成了切平面的一组基。因此，点 \( P \) 处的切平面方程可以通过法向量 \( \mathbf{n} = \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \) 来确定。 接下来，我们引入可展曲面的定义。一个曲面被称为可展曲面，如果它可以通过弯曲一个平面区域而不拉伸或撕裂得到。这意味着可展曲面在局部上与平面是等距的。更精确地说，可展曲面是高斯曲率恒为零的直纹面。 为了深入理解可展条件，我们需要讨论直纹面的概念。直纹面是由一族直线（称为直母线）扫掠而成的曲面。数学上，直纹面可以表示为 \( \mathbf{r}(u,v) = \boldsymbol{\alpha}(u) + v \boldsymbol{\beta}(u) \)，其中 \( \boldsymbol{\alpha}(u) \) 是准线，\( \boldsymbol{\beta}(u) \) 是直母线的方向向量。 现在，我们推导可展曲面的条件。一个直纹面 \( \mathbf{r}(u,v) = \boldsymbol{\alpha}(u) + v \boldsymbol{\beta}(u) \) 是可展曲面的充要条件是混合积 \( [ \boldsymbol{\alpha}'(u), \boldsymbol{\beta}(u), \boldsymbol{\beta}'(u) ] = 0 \) 对所有 \( u \) 成立。这个条件等价于直母线的方向向量 \( \boldsymbol{\beta}(u) \)、准线的导数 \( \boldsymbol{\alpha}'(u) \) 和 \( \boldsymbol{\beta}'(u) \) 共面。 进一步，我们可以从高斯曲率的角度来刻画可展性。曲面的高斯曲率 \( K \) 是主曲率的乘积。对于可展曲面，高斯曲率处处为零。这是因为可展曲面在一点处至少有一个主曲率为零（即沿直母线方向的法曲率为零），因此主曲率的乘积为零。 最后，我们总结可展曲面的分类。所有可展曲面都属于以下三种类型之一：柱面、锥面或切线面。柱面的直母线方向固定；锥面的所有直母线通过一个固定点（顶点）；切线面则由一条空间曲线的切线族构成。这些曲面都可以展开成平面而不产生畸变，这在工程和制造中有重要应用。