模的不可约分解 我将为您详细讲解模的不可约分解理论。这个概念是模论和表示论中的核心内容，它研究的是如何将模分解为最基本的"不可再分"的部分。 1. 基本概念回顾 首先我们需要明确几个基础概念： 模：在固定环R上的模M是一个 Abel 群，配备了一个R-作用 子模：模M的子集N，在加法和R-作用下封闭 单模（不可约模）：没有非平凡真子模的模（只有{0}和自身两个子模） 2. 不可约模的性质 不可约模具有以下重要特征： 任何非零元素都能生成整个模 从不可约模到其他模的非零同态一定是单射 在除环上的向量空间是单模的特例 3. 不可约分解的存在性 并非所有模都有不可约分解。我们需要考虑： 子模的升链条件：保证存在极大子模 模的根（Jacobson根）：所有极大子模的交 关键定理：模M有不可约分解当且仅当M/Rad(M)是半单模，其中Rad(M)是M的根 4. 分解的唯一性 不可约分解在某种意义下是唯一的： 若M ≅ ⊕Sᵢ ≅ ⊕Tⱼ，其中Sᵢ, Tⱼ是不可约模 则存在双射σ使得Sᵢ ≅ T_ {σ(i)} 每个不可约模在同构意义下出现的重数是确定的 5. Krull-Schmidt定理 这是不可约分解理论的顶峰： 对于有限长度的模，任何两个不可约分解都有相同长度的合成列 不可约因子在同构意义下是唯一的，包括出现次数 这推广了有限维向量空间基数的唯一性 6. 应用与意义 不可约分解在表示论中至关重要： 研究群表示的结构 分类代数上的模 在物理学中描述对称性破缺 为更复杂的模结构提供基础构件 这个理论将复杂的模结构简化为最基本的不可约组成部分，是理解模的结构的强大工具。