曲面的共轭方向 我们先从曲面的基本结构开始理解。一个光滑曲面可以用参数方程 \( \mathbf{r}(u,v) \) 表示，其中 \( u \) 和 \( v \) 是曲纹坐标。在曲面上任意一点 \( P \)，有两个切向量 \( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \) 和 \( \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \)，它们张成该点的切平面。 曲面的第一基本形式由系数 \( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u, F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r} v, G = \mathbf{r} v \cdot \mathbf{r} v \) 决定，它度量切平面上的内积和弧长。第二基本形式由系数 \( L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n}, M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n}, N = \mathbf{r} {vv} \cdot \mathbf{n} \) 决定，其中 \( \mathbf{n} \) 是单位法向量，它描述曲面在点 \( P \) 附近相对于切平面的弯曲程度。 在点 \( P \) 的切平面中，任意方向可以用微分 \( du : dv \) 表示。两个方向 \( du : dv \) 和 \( \delta u : \delta v \) 称为共轭方向，如果它们满足关系： \[ L\, du\, \delta u + M (du\, \delta v + dv\, \delta u) + N\, dv\, \delta v = 0 \] 这个条件可以写作矩阵形式： \[ [ du \quad dv ] \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta u \\ \delta v \end{bmatrix} = 0 \] 它表示两个方向在第二基本形式的意义下“正交”。 从几何上看，如果沿一个方向 \( du : dv \) 的切线与曲面交于一条曲线，且该曲线在点 \( P \) 的密切平面包含另一个方向 \( \delta u : \delta v \)，则这两个方向是共轭的。特别地，曲面的渐近方向（第二基本形式为零的方向）与任何方向都共轭，包括它自身。 共轭方向在曲面的曲率线理论中很重要：曲率线方向（主方向）总是互相共轭的，并且它们还互相垂直（在度量意义下正交）。因此，共轭方向是比正交更一般的概念，它只依赖于曲面的弯曲性质（第二基本形式），而不依赖于内积（第一基本形式）。 在曲面的共轭网中，两族曲线互相共轭，即一族曲线中每条曲线的切方向与另一族曲线的切方向在每一点共轭。这种网络在曲面论和几何设计中有广泛应用。