模的平坦维数 我们先从模的平坦性开始理解。一个右 R-模 M 称为平坦模，如果函子 \( - \otimes_ R M \) 是正合的，也就是把任意正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 通过张量积 \( - \otimes_ R M \) 作用后，得到的序列 \( 0 \to A \otimes_ R M \to B \otimes_ R M \to C \otimes_ R M \to 0 \) 仍然是正合的。直观上，平坦模在与其它模做张量积时不会产生新的“扭结”。 接下来，我们考虑模 M 的平坦维数。平坦维数衡量 M 离平坦模有多远。具体定义是：取 M 的一个平坦分解，即一个长正合序列 \[ \cdots \to F_ 2 \to F_ 1 \to F_ 0 \to M \to 0, \] 其中每个 \( F_ i \) 是平坦模。这个分解的长度可以是无限的。平坦维数 \( \mathrm{fd}(M) \) 定义为所有这样的分解中，使得当 \( n > \mathrm{fd}(M) \) 时 \( F_ n = 0 \) 的最小整数 n；如果不存在这样的有限分解，则平坦维数为无穷大。 平坦维数也可以通过 Tor 函子来刻画：\( \mathrm{fd}(M) \le n \) 当且仅当对任意模 N 和所有 \( k > n \)，有 \( \mathrm{Tor}^R_ k(M, N) = 0 \)。特别地，M 是平坦模当且仅当 \( \mathrm{fd}(M) = 0 \)。 最后，我们考虑环 R 的整体平坦维数，定义为所有右 R-模的平坦维数的上确界，它也等于所有左 R-模的平坦维数的上确界。整体平坦维数为 0 意味着 R 是半单环（所有模平坦），而整体平坦维数为 1 则对应遗传环（所有理想是投射模）。