同余数问题 我们先从基本定义开始。一个正整数 \( n \) 被称为 同余数 ，如果存在一个边长为有理数的直角三角形，其面积为 \( n \)。换句话说，存在正有理数 \( a, b, c \) 满足： \[ a^2 + b^2 = c^2 \] 和 \[ \frac{1}{2}ab = n \] 例如，\( n = 5 \) 是一个同余数，因为边长为 \( \frac{3}{2}, \frac{20}{3}, \frac{41}{6} \) 的直角三角形面积为 5。 这个问题的核心是： 给定一个正整数 \( n \)，如何判断它是否为同余数？ 这等价于寻找上述有理数解的存在性。 接下来，我们建立同余数与椭圆曲线的联系。通过变量替换，可以将上述问题转化为椭圆曲线上的有理点问题。具体地，令： \[ x = \frac{n(a+c)}{b}, \quad y = \frac{2n^2(a+c)}{b^2} \] 则上述方程等价于椭圆曲线： \[ E_ n: y^2 = x^3 - n^2x \] 并且 \( n \) 是同余数当且仅当椭圆曲线 \( E_ n \) 具有非平凡的有理点（即 \( y \neq 0 \) 的有理点）。 现在，我们引入一个重要工具： Tunnell 定理 。这个定理给出了判断同余数的一个有效方法，但依赖于 BSD猜想 （Birch和Swinnerton-Dyer猜想）成立。Tunnell 定理指出，如果 \( n \) 是无平方因子的正整数，那么： 如果 \( n \) 是奇数且为同余数，则： \[ \#\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 \mid n = 2x^2 + y^2 + 32z^2 \} = \frac{1}{2} \#\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 \mid n = 2x^2 + y^2 + 8z^2 \} \] 如果 \( n \) 是偶数且为同余数，则： \[ \#\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 \mid \frac{n}{2} = 4x^2 + y^2 + 32z^2 \} = \frac{1}{2} \#\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 \mid \frac{n}{2} = 4x^2 + y^2 + 8z^2 \} \] 注意，这些等式中的集合大小是有限整数解的数量，可以通过计算确定。 最后，我们讨论同余数问题的现状。虽然 Tunnell 定理给出了一个判定算法，但其正确性依赖于 BSD 猜想。对于许多具体的 \( n \)，我们可以通过计算椭圆曲线 \( E_ n \) 的秩来判断：如果 \( \text{rank}(E_ n(\mathbb{Q})) > 0 \)，则 \( n \) 很可能是同余数。例如，已知 \( n = 1, 2, 3 \) 不是同余数，而 \( n = 5, 6, 7 \) 是同余数。 总结一下，同余数问题是一个连接数论、椭圆曲线和 BSD 猜想的经典问题，其研究推动了现代数论的多个方向发展。