最优控制理论 我将从基础概念开始，循序渐进地讲解最优控制理论的核心内容。 第一步：最优控制理论的基本概念 最优控制理论是研究如何找到控制策略，使得动态系统在满足约束的同时达到最优性能指标的数学分支。它包含三个核心要素： 系统动态：用状态方程描述，通常是微分方程形式 dx/dt = f(x,u,t)，其中x是状态变量，u是控制变量，t是时间 约束条件：包括控制约束u(t)∈U、状态约束x(t)∈X以及边界条件 性能指标：也称为目标函数，通常是泛函形式 J = φ(x(t_ f),t_ f) + ∫₀^{t_ f} L(x,u,t)dt 第二步：问题分类与数学表述 最优控制问题可按不同标准分类： 按终端时间：固定终端时间vs自由终端时间 按终端状态：固定终端状态vs自由终端状态 按系统特性：线性vs非线性，确定性vs随机性 典型的最优控制问题可表述为：在满足系统动态和约束条件下，寻找控制函数u* (t)，使性能指标J达到极小值。 第三步：庞特里亚金极小值原理 这是最优控制理论的核心成果，提供了必要条件： 对于系统 dx/dt = f(x,u,t)，定义哈密顿函数 H(x,u,λ,t) = L(x,u,t) + λᵀf(x,u,t) 最优控制u* (t)和最优轨线x* (t)满足： 协态方程：dλ/dt = -∂H/∂x 状态方程：dx/dt = ∂H/∂λ 极小值条件：H(x* ,u* ,λ* ,t) ≤ H(x* ,u,λ* ,t) 对所有u∈U成立 横截条件：λ(t_ f) = ∂φ/∂x(t_ f) 第四步：动态规划方法 贝尔曼最优性原理是另一重要工具： 定义值函数 V(x,t) = min_ {u} J(x,u,t) 满足哈密顿-雅可比-贝尔曼方程： -∂V/∂t = min_ {u∈U} [ L(x,u,t) + (∂V/∂x)ᵀf(x,u,t) ] 这是一个偏微分方程，给出了求解最优控制问题的充分条件。 第五步：线性二次型问题 这是最重要的一类特殊问题： 系统动态：dx/dt = A(t)x + B(t)u 性能指标：J = ½xᵀ(t_ f)Sx(t_ f) + ½∫₀^{t_ f}[ xᵀQx + uᵀRu ]dt 最优解具有解析形式：u* (t) = -R⁻¹BᵀP(t)x(t) 其中P(t)满足黎卡提微分方程，这类问题在工程中广泛应用。 第六步：数值求解方法 当解析解不可得时，常用数值方法包括： 直接法：将连续问题离散化，转化为参数优化问题 间接法：基于极小值原理，求解两点边值问题 梯度法：沿性能指标梯度下降方向迭代改进控制 伪谱法：在配点离散化基础上使用正交多项式逼近 第七步：应用领域与扩展 最优控制理论已广泛应用于： 航空航天：轨迹优化、姿态控制 机器人学：路径规划、运动控制 经济学：最优经济增长、资源分配 生物医学：药物剂量控制、疾病治疗策略 现代扩展包括随机最优控制、鲁棒最优控制、分布参数系统最优控制等。