内点法 我将为您详细讲解内点法（Interior Point Methods），这是一种用于求解线性规划、非线性规划、凸优化等问题的强大算法。我将从基本概念入手，逐步深入到核心原理、算法步骤和应用，确保您能清晰理解这一方法。 基本概念与背景 内点法是一类迭代优化算法，其核心思想是通过在可行域的内部移动来逼近最优解，而不是像单纯形法那样沿着边界移动。它最初于1984年由Karmarkar提出，用于线性规划问题，后来被扩展到非线性规划和凸优化领域。内点法的关键优势在于，对于大规模问题，它通常比单纯形法更高效，因为其计算复杂度在理论上更低（例如，对于线性规划，内点法有多项式时间复杂性，而单纯形法在最坏情况下是指数级的）。这里，“可行域”指的是满足所有约束的点的集合，而“内部”意味着点严格满足不等式约束（例如，对于约束g(x) ≤ 0，内部点满足g(x) < 0）。 核心思想：障碍函数与中心路径 内点法通过引入一个障碍函数（Barrier Function）将约束问题转化为一系列无约束问题。例如，对于不等式约束g_ i(x) ≤ 0 (i=1,2,...,m)，障碍函数（如对数障碍函数）定义为：B(x) = -∑ log(-g_ i(x))。这个函数在可行域内部是有限的，但当点接近边界时（g_ i(x) → 0），B(x) → ∞，从而阻止迭代点越界。然后，原始问题被转化为最小化目标函数f(x)加上一个障碍参数μ（μ > 0）乘以障碍函数：min f(x) + μ B(x)。当μ逐渐减小到0时，这个问题的解会沿着一条称为“中心路径”（Central Path）的曲线移动，从可行域内部收敛到原始问题的最优解。中心路径确保了算法始终在可行域内部迭代，避免了边界上的不可行性。 算法步骤：原始-对偶内点法 最常用的内点法是原始-对偶内点法，它同时更新原始变量和对偶变量，以提高效率和数值稳定性。以线性规划为例，考虑问题：min c^T x，满足Ax = b，x ≥ 0。其拉格朗日对偶问题涉及对偶变量y和松弛变量s。算法步骤如下： 初始化 ：选择一个初始点(x^0, y^0, s^0)，其中x^0 > 0, s^0 > 0（严格内点），并设置障碍参数μ > 0和容差ε > 0。 迭代过程 ：在每一步迭代中： a. 计算当前点的对偶间隙（Duality Gap）c^T x - b^T y，如果间隙小于ε，则停止迭代（接近最优）。 b. 求解一个线性系统（如牛顿方向系统），得到搜索方向(Δx, Δy, Δs)。这个系统由KKT条件（已讲过的词条）的扰动形式推导而来，例如：A Δx = 0, A^T Δy + Δs = 0, 和 S Δx + X Δs = μ e - X S e，其中X和S是对角矩阵，由x和s构成，e是全1向量。 c. 计算步长α，确保更新后点仍满足x > 0和s > 0（通常通过线搜索确定）。 d. 更新点：x ← x + α Δx, y ← y + α Δy, s ← s + α Δs。 e. 减小障碍参数μ，例如μ ← σ μ，其中σ是介于0和1之间的常数。 终止 ：当对偶间隙足够小或迭代次数达到限制时，输出当前点作为近似最优解。 这个过程通过不断减小μ，使迭代点沿中心路径逼近最优解，同时保持严格可行性。 应用与扩展 内点法广泛应用于各种优化问题，包括线性规划、二次规划、半定规划（已讲过的词条）和凸优化。它在工程、经济学和机器学习中都有重要应用，例如在支持向量机（已讲过的词条）的训练中。内点法的扩展包括处理非凸问题、大规模分布式优化以及与其他方法（如信赖域方法，已讲过的词条）的结合。其优势在于全局收敛性和对大规模问题的可扩展性，但需要注意初始点选择和参数调优以确保效率。 通过以上步骤，您应该对内点法有了全面的理解。它通过内部路径逼近最优解，结合障碍函数和原始-对偶更新，实现了高效且可靠的优化求解。