博雷尔-σ-代数的乘积σ-代数结构

我将详细讲解博雷尔-σ-代数的乘积结构，这是实变函数和测度论中连接多维空间与一维空间的重要桥梁。

1. 乘积σ-代数的基本定义

设\((X, \mathcal{B}_X)\)和\((Y, \mathcal{B}_Y)\)是两个可测空间，它们的乘积σ-代数定义为：

\[\mathcal{B}_X \otimes \mathcal{B}_Y = \sigma(\{A \times B : A \in \mathcal{B}_X, B \in \mathcal{B}_Y\}) \]

其中\(A \times B\)称为可测矩形，\(\sigma(\cdot)\)表示由这些矩形生成的σ-代数。

直观理解：乘积σ-代数是由所有"矩形"生成的最小σ-代数，这些矩形的"边"分别来自两个原始σ-代数。

2. 博雷尔σ-代数的乘积结构

对于拓扑空间，我们有更具体的结构。设\(X\)和\(Y\)是拓扑空间，\(\mathcal{B}(X)\)和\(\mathcal{B}(Y)\)是相应的博雷尔σ-代数。

关键定理：如果\(X\)和\(Y\)是第二可数空间（即具有可数基），那么：

\[\mathcal{B}(X \times Y) = \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \]

其中\(X \times Y\)配备乘积拓扑。

证明思路：

• \(\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \subset \mathcal{B}(X \times Y)\)：因为每个可测矩形\(A \times B\)在乘积拓扑中是博雷尔集
• \(\mathcal{B}(X \times Y) \subset \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)：利用第二可数性，乘积拓扑的基元素可表示为可测矩形的可数并

3. 有限维欧几里得空间的情形

对于\(\mathbb{R}^n\)，我们有：

\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \cdots \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) \quad (n\text{次}) \]

这意味着n维博雷尔σ-代数恰好由一维博雷尔σ-代数通过乘积运算生成。

具体构造：设\(\mathcal{I}\)是\(\mathbb{R}\)中所有区间的集合，则：

\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \sigma(\{I_1 \times \cdots \times I_n : I_i \in \mathcal{I}\}) \]

这为研究高维空间的测度论提供了坚实基础。

4. 可测性的保持

乘积结构保持了许多重要的可测性质：

定理：如果\(f: X \to \mathbb{R}\)和\(g: Y \to \mathbb{R}\)是博雷尔可测函数，那么：

• 函数\(h(x,y) = f(x)g(y)\)在\(X \times Y\)上博雷尔可测
• 函数\(F(x,y) = f(x) + g(y)\)在\(X \times Y\)上博雷尔可测

证明：考虑集合\(\{A \subset \mathbb{R} : \{(x,y): f(x)g(y) \in A\} \in \mathcal{B}(X \times Y)\}\)，验证这是一个σ-代数包含所有博雷尔集。

5. 截面定理与富比尼定理的基础

乘积σ-代数的结构是富比尼定理的基石。对于\(E \in \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)，定义截面：

• \(E_x = \{y \in Y : (x,y) \in E\}\)（x-截面）
• \(E^y = \{x \in X : (x,y) \in E\}\)（y-截面）

截面定理：对于任意\(E \in \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)，有：

• \(E_x \in \mathcal{B}(Y)\) 对所有\(x \in X\)
• \(E^y \in \mathcal{B}(X)\) 对所有\(y \in Y\)

6. 无穷乘积结构

对于可数无穷乘积，设\(\{X_n\}_{n=1}^\infty\)是一族可测空间，无穷乘积σ-代数定义为：

\[\bigotimes_{n=1}^\infty \mathcal{B}(X_n) = \sigma\left(\left\{\prod_{n=1}^\infty A_n : A_n \in \mathcal{B}(X_n), \text{只有有限个}A_n \neq X_n\right\}\right) \]

这个定义确保了我们只考虑"有限维"信息生成的σ-代数。

7. 应用：独立随机变量

在概率论中，如果\(X\)和\(Y\)是独立随机变量，那么它们的联合分布满足：

\[\mathbb{P}((X,Y) \in A \times B) = \mathbb{P}(X \in A)\mathbb{P}(Y \in B) \quad \text{对所有 } A,B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \]

这个性质可以唯一地扩展到整个乘积σ-代数\(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})\)。

8. 反例与注意事项

需要注意的是，当空间不是第二可数时，等式\(\mathcal{B}(X \times Y) = \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)可能不成立。例如，对于某些不可分空间，乘积博雷尔σ-代数可能严格大于乘积σ-代数。

博雷尔-σ-代数的乘积结构为我们研究多维空间中的测度、积分和概率提供了严格的数学基础，是连接一维与高维分析的桥梁。\(\boxed{\text{理解乘积结构是掌握高维测度论的关键}}\)