二次型的合同变换 我们先从二次型的基本概念开始。二次型是齐次二次多项式，通常形如 \( Q(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) = \sum_ {i \leq j} a_ {ij} x_ i x_ j \)，其中 \( a_ {ij} \) 是系数。在矩阵表示中，二次型可以写作 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \)，其中 \( A \) 是对称矩阵，\( \mathbf{x} \) 是变元向量。 接下来，我们考虑二次型的合同变换。合同变换是指对二次型的变元进行可逆线性替换。具体地，设 \( \mathbf{x} = P \mathbf{y} \)，其中 \( P \) 是一个可逆矩阵。那么原二次型变为 \( Q(\mathbf{x}) = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} \)。新二次型对应的矩阵是 \( P^T A P \)。如果存在可逆矩阵 \( P \) 使得 \( B = P^T A P \)，则称矩阵 \( A \) 和 \( B \) 是合同的。 合同关系是一种等价关系，因为它满足自反性、对称性和传递性。自反性：取 \( P = I \)（单位矩阵），有 \( A = I^T A I \)。对称性：若 \( B = P^T A P \)，则 \( A = (P^{-1})^T B P^{-1} \)。传递性：若 \( B = P^T A P \) 且 \( C = Q^T B Q \)，则 \( C = (PQ)^T A (PQ) \)。 合同变换的重要性在于它保持二次型的某些本质属性不变。例如，二次型的秩在合同变换下不变，因为可逆矩阵乘法不改变矩阵的秩。另外，实数域上二次型的正惯性指数和负惯性指数也在合同变换下保持不变，这是由西尔维斯特惯性定理保证的。 进一步地，我们可以通过合同变换将二次型化为标准形。例如，对于实数域上的二次型，可以通过合同变换化为对角形，且对角线元素仅为 1、-1 或 0。具体步骤包括配方法或使用正交变换。在复数域上，二次型可以通过合同变换化为平方和形式，即对角线元素仅为 1 或 0。 合同变换还与二次型的分类密切相关。在实数域上，根据正惯性指数和负惯性指数，二次型可以被分类为正定、负定、不定等类型。这些分类在合同变换下是不变的，因为合同变换不改变惯性指数。 最后，合同变换在应用中也十分广泛，例如在物理学中的主轴变换，通过合同变换将二次型化为标准形，从而简化问题的分析。在工程学中，合同变换用于结构分析和优化问题。