索末菲-库默尔函数的威克-史密斯延迟时间矩阵的谱分解分析（续八） 我们继续深入探讨威克-史密斯延迟时间矩阵的谱分解特性。在前续讨论的基础上，本部分重点分析该矩阵在复平面上的解析延拓性质及其与散射极点的关联。 1. 延迟时间矩阵的解析结构回顾 威克-史密斯延迟时间矩阵 \( Q(E) \) 在实能量轴上定义为： \[ Q(E) = -i\hbar S^\dagger(E)\frac{dS}{dE} \] 其中 \( S(E) \) 为散射矩阵。通过梅尔文变换，可将 \( Q(E) \) 解析延拓到复能量平面，此时矩阵元 \( Q_ {ij}(z) \) 在复变量 \( z = E + i\Gamma \) 上呈现亚纯函数特性。 2. 散射极点与谱分解的关联 在解析延拓过程中，散射矩阵 \( S(z) \) 的极点 \( z_ p = E_ p - i\Gamma_ p/2 \) 对应着： \( E_ p \)：共振态能量 \( \Gamma_ p \)：共振宽度 延迟时间矩阵在极点附近展开为： \[ Q(z) = \frac{R_ p}{z - z_ p} + \text{正则项} \] 其中留数矩阵 \( R_ p \) 满足： \[ \operatorname{tr}(R_ p) = \frac{\Gamma_ p}{2\pi} \] 该关系建立了共振宽度与延迟时间矩阵谱特性的直接联系。 3. 谱分解的复平面表示 将谱分解推广到复平面，特征值问题表述为： \[ Q(z)|\psi_ n(z)\rangle = q_ n(z)|\psi_ n(z)\rangle \] 特征值 \( q_ n(z) \) 在复平面上呈现： 在实轴附近保持实值 在极点附近出现显著增强 通过黎曼面连接多值分支 4. 时间延迟的共振贡献分解 总时间延迟可分解为各共振态的贡献： \[ \tau_ {\text{EWS}}(E) = \sum_ p \frac{\Gamma_ p/2\pi}{(E - E_ p)^2 + (\Gamma_ p/2)^2} + \text{背景项} \] 其中背景项来源于势散射的非共振过程，在复平面上对应割线贡献。 5. 谱分解的数值验证方法 通过帕德近似构造延迟时间矩阵的解析延拓： \[ Q_ {ij}(z) \approx \frac{P_ {ij}(z)}{Q_ {ij}(z)} \] 其中 \( P_ {ij}(z), Q_ {ij}(z) \) 为多项式，其零点与极点分别对应散射矩阵的零点和极点，为谱分解提供数值验证途径。