索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯延迟时间矩阵的谱分解分析（续七） 在之前的分析中，我们已详细探讨了威格纳-史密斯延迟时间矩阵的谱分解结构及其渐近行为。现在，我们将进一步研究该矩阵在非均匀介质中的谱分解特性，重点分析其与散射矩阵的解析延拓关系。 非均匀介质中的延迟时间矩阵 考虑一维非均匀介质，其波动方程可化为索末菲-库默尔方程形式。此时，威格纳-史密斯延迟时间矩阵 \( Q(E) \) 定义为： \[ Q(E) = -i\hbar \, S^{-1}(E) \frac{\partial S(E)}{\partial E} \] 其中 \( S(E) \) 是能量为 \( E \) 时的散射矩阵。在非均匀介质中，\( S(E) \) 的解析结构受介质势能轮廓的影响，导致 \( Q(E) \) 的谱分解呈现复杂能级依赖。 谱分解与散射极点的关联 散射矩阵 \( S(E) \) 在复能量平面上的极点 \( E_ p = E_ r - i\Gamma/2 \) 对应系统的准束缚态（\( E_ r \) 为实部能级，\( \Gamma \) 为衰减宽度）。延迟时间矩阵的谱分解可通过这些极点展开： \[ Q(E) = \sum_ p \frac{\Gamma_ p}{(E - E_ r)^2 + (\Gamma_ p/2)^2} \, |\psi_ p\rangle\langle\psi_ p| + \text{背景项} \] 其中 \( |\psi_ p\rangle \) 是与极点 \( p \) 对应的态矢量。非均匀介质会导致极点分布不均匀，例如在势垒阵列中形成多个紧密间隔的极点。 非均匀性对谱密度的影响 若介质势能 \( V(x) \) 具有周期性调制（如超晶格结构），散射极点在复平面上会形成链状分布。此时，延迟时间矩阵的谱密度 \( \rho(E) = \operatorname{Tr}[ Q(E) ] \) 呈现振荡行为： \[ \rho(E) = \sum_ n \frac{\Gamma_ n}{(E - E_ n)^2 + (\Gamma_ n/2)^2} + \rho_ {\text{bg}}(E) \] 其中 \( E_ n \) 为调制势能引起的共振能级序列，\( \rho_ {\text{bg}} \) 为连续谱贡献。振荡周期由势能调制的傅里叶分量决定。 示例：双势垒结构的延迟时间谱 以双δ势垒 \( V(x) = V_ 0[ \delta(x) + \delta(x-d)] \) 为例，散射矩阵的极点可通过超越方程解得。延迟时间矩阵的谱在共振能级 \( E_ n \approx \frac{\hbar^2 k_ n^2}{2m} \) 处出现尖峰，峰宽由势垒穿透性决定。当势垒间距 \( d \) 变化时，共振能级移动导致谱峰位置偏移，体现非均匀间距对谱分解的调控作用。 高阶项与非扰动效应 在强非均匀条件下（如随机介质），需通过微扰展开或重整化群方法处理谱分解。此时，延迟时间矩阵可写为： \[ Q(E) = Q_ 0(E) + \lambda Q_ 1(E) + \lambda^2 Q_ 2(E) + \cdots \] 其中 \( \lambda \) 表征非均匀强度，高阶项 \( Q_ n(E) \) 描述多散射路径干涉对延迟时间的修正。