量子力学中的Wigner晶体

字数 1698 2025-11-20 06:32:43

量子力学中的Wigner晶体

我将从基本概念出发，循序渐进地讲解Wigner晶体在量子力学中的数学描述。

1. 经典图像与物理起源
在强关联电子系统中，当电子密度足够低时，库仑排斥能会远大于电子的动能。这时电子为了最小化排斥能，会自发排列成规则的晶格结构，这就是Wigner晶体的核心思想。数学上，这发生在参数 \(r_s = \frac{r_0}{a_B} \gg 1\) 时，其中 \(r_0\) 是平均电子间距，\(a_B\) 是玻尔半径。

2. 量子力学描述的关键要素
系统的哈密顿量可写为：

\[\hat{H} = \sum_i \frac{\hat{\mathbf{p}}_i^2}{2m} + \frac{1}{2}\sum_{i\neq j} \frac{e^2}{|\hat{\mathbf{r}}_i - \hat{\mathbf{r}}_j|} \]

Wigner晶体对应于该哈密顿量在 \(r_s \to \infty\) 极限下的基态。此时势能项占主导，电子会固定在某个规则格点 \(\{\mathbf{R}_i\}\) 附近。

3. 简谐近似与声子谱
在零温下，我们考虑电子在其平衡位置附近的小振动。令 \(\hat{\mathbf{u}}_i = \hat{\mathbf{r}}_i - \mathbf{R}_i\)，将势能在平衡位置展开至二阶：

\[V \approx V_0 + \frac{1}{2}\sum_{i,j,\alpha,\beta} \hat{u}_i^\alpha D_{ij}^{\alpha\beta} \hat{u}_j^\beta \]

其中动力学矩阵 \(D_{ij}^{\alpha\beta} = \frac{\partial^2 V}{\partial u_i^\alpha \partial u_j^\beta}\bigg|_{\{\mathbf{R}_i\}}\)。通过傅里叶变换到倒空间，可得到声子色散关系 \(\omega_\nu(\mathbf{q})\)。

4. 量子涨落的影响
即使在绝对零度，量子涨落也会导致晶格位置的均方位移不为零：

\[\langle \hat{\mathbf{u}}^2 \rangle = \frac{\hbar}{2mN} \sum_{\mathbf{q},\nu} \frac{1}{\omega_\nu(\mathbf{q})} \]

Lindemann判据指出，当 \(\sqrt{\langle \hat{\mathbf{u}}^2 \rangle}\) 超过约10%的晶格常数时，晶体序将被破坏。这是判断Wigner晶体稳定性的重要依据。

5. 路径积分表述
在虚时形式下，系统的配分函数可写为：

\[Z = \int \mathcal{D}[\mathbf{r}(\tau)] e^{-S_E[\mathbf{r}(\tau)]/\hbar} \]

其中欧几里得作用量 \(S_E = \int_0^{\beta\hbar} d\tau \left[ \frac{m}{2}|\dot{\mathbf{r}}|^2 + V(\mathbf{r}) \right]\)。这个表述特别适合研究量子熔化现象。

6. 一维情形的特殊性
在一维系统中，Mermin-Wagner定理禁止了真正的长程序。然而，通过Berezinskii-Kosterlitz-Thouless机制，系统可以表现出准长程序。此时的位置-位置关联函数呈现幂律衰减：

\[\langle e^{i\mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{u}}(x)} e^{-i\mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{u}}(0)} \rangle \sim |x|^{-\eta(G)} \]

其中 \(\mathbf{G}\) 是倒格矢，\(\eta(G)\) 是与系统参数相关的临界指数。

量子力学中的Wigner晶体我将从基本概念出发，循序渐进地讲解Wigner晶体在量子力学中的数学描述。 1. 经典图像与物理起源在强关联电子系统中，当电子密度足够低时，库仑排斥能会远大于电子的动能。这时电子为了最小化排斥能，会自发排列成规则的晶格结构，这就是Wigner晶体的核心思想。数学上，这发生在参数 \( r_ s = \frac{r_ 0}{a_ B} \gg 1 \) 时，其中 \( r_ 0 \) 是平均电子间距，\( a_ B \) 是玻尔半径。 2. 量子力学描述的关键要素系统的哈密顿量可写为： \[ \hat{H} = \sum_ i \frac{\hat{\mathbf{p}} i^2}{2m} + \frac{1}{2}\sum {i\neq j} \frac{e^2}{|\hat{\mathbf{r}}_ i - \hat{\mathbf{r}}_ j|} \] Wigner晶体对应于该哈密顿量在 \( r_ s \to \infty \) 极限下的基态。此时势能项占主导，电子会固定在某个规则格点 \(\{\mathbf{R}_ i\}\) 附近。 3. 简谐近似与声子谱在零温下，我们考虑电子在其平衡位置附近的小振动。令 \(\hat{\mathbf{u}}_ i = \hat{\mathbf{r}} i - \mathbf{R} i\)，将势能在平衡位置展开至二阶： \[ V \approx V_ 0 + \frac{1}{2}\sum {i,j,\alpha,\beta} \hat{u} i^\alpha D {ij}^{\alpha\beta} \hat{u} j^\beta \] 其中动力学矩阵 \( D {ij}^{\alpha\beta} = \frac{\partial^2 V}{\partial u_ i^\alpha \partial u_ j^\beta}\bigg| {\{\mathbf{R} i\}} \)。通过傅里叶变换到倒空间，可得到声子色散关系 \(\omega \nu(\mathbf{q})\)。 4. 量子涨落的影响即使在绝对零度，量子涨落也会导致晶格位置的均方位移不为零： \[ \langle \hat{\mathbf{u}}^2 \rangle = \frac{\hbar}{2mN} \sum_ {\mathbf{q},\nu} \frac{1}{\omega_ \nu(\mathbf{q})} \] Lindemann判据指出，当 \(\sqrt{\langle \hat{\mathbf{u}}^2 \rangle}\) 超过约10%的晶格常数时，晶体序将被破坏。这是判断Wigner晶体稳定性的重要依据。 5. 路径积分表述在虚时形式下，系统的配分函数可写为： \[ Z = \int \mathcal{D}[ \mathbf{r}(\tau)] e^{-S_ E[ \mathbf{r}(\tau) ]/\hbar} \] 其中欧几里得作用量 \( S_ E = \int_ 0^{\beta\hbar} d\tau \left[ \frac{m}{2}|\dot{\mathbf{r}}|^2 + V(\mathbf{r}) \right ] \)。这个表述特别适合研究量子熔化现象。 6. 一维情形的特殊性在一维系统中，Mermin-Wagner定理禁止了真正的长程序。然而，通过Berezinskii-Kosterlitz-Thouless机制，系统可以表现出准长程序。此时的位置-位置关联函数呈现幂律衰减： \[ \langle e^{i\mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{u}}(x)} e^{-i\mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{u}}(0)} \rangle \sim |x|^{-\eta(G)} \] 其中 \(\mathbf{G}\) 是倒格矢，\(\eta(G)\) 是与系统参数相关的临界指数。