随机变量的变换的Hilbert空间嵌入 我将为您详细讲解随机变量的变换的Hilbert空间嵌入（Hilbert Space Embedding of Random Variables），这是一个连接概率论与泛函分析的重要概念。 第一步：基本概念引入 Hilbert空间嵌入的核心思想是将概率分布映射到再生核希尔伯特空间（RKHS）中的点。具体来说： 设(Ω, ℱ, P)是一个概率空间，X是定义在其上的随机变量 我们考虑一个RKHS ℋ，它由核函数k: 𝒳 × 𝒳 → ℝ生成 嵌入映射μ将分布P_ X映射到ℋ中的元素：μ(P_ X) = 𝔼ₓ[ k(X, ·) ] 这个映射具有关键性质：𝔼ₓ[ f(X)] = ⟨f, μ(P_ X)⟩_ ℋ，对任意f ∈ ℋ成立。 第二步：均值嵌入的性质 均值嵌入μ(P)具有以下重要数学特性： 线性性：μ(αP + βQ) = αμ(P) + βμ(Q)，其中α, β ∈ ℝ 特征性质：⟨μ(P), μ(Q)⟩_ ℋ = 𝔼ₓ,ᵧ[ k(X,Y) ]，其中X ∼ P，Y ∼ Q 可逆性：如果核函数k是特征核，那么映射P ↦ μ(P)是单射 特征核条件意味着不同的分布映射到RKHS中不同的点。 第三步：最大均值差异（MMD） 基于Hilbert空间嵌入，我们可以定义分布间的距离度量： MMD²(P,Q) = ||μ(P) - μ(Q)||²_ ℋ 展开得到：MMD²(P,Q) = 𝔼ₓ,ₓ′[ k(X,X′)] + 𝔼ᵧ,ᵧ′[ k(Y,Y′)] - 2𝔼ₓ,ᵧ[ k(X,Y) ] 这个距离度量具有重要性质：MMD(P,Q) = 0当且仅当P = Q（在特征核条件下）。 第四步：经验估计与应用 在实际应用中，我们通常使用经验估计： 给定样本{X₁,...,Xₙ} ∼ P和{Y₁,...,Yₘ} ∼ Q，经验MMD为： MMD²ₙ,ₘ = 1/(n(n-1)) ∑ᵢ≠ⱼ k(Xᵢ,Xⱼ) + 1/(m(m-1)) ∑ᵢ≠ⱼ k(Yᵢ,Yⱼ) - 2/(nm) ∑ᵢ,ⱼ k(Xᵢ,Yⱼ) 应用包括： 双样本检验：检验两个样本是否来自同一分布 独立性检验：通过交叉协方差算子检验变量间的独立性 生成模型：在RKHS中最小化分布距离来训练生成模型 第五步：条件嵌入与贝叶斯推断 进一步推广到条件分布的情况： 条件均值嵌入：μ_ Y|ₓ = 𝒞_ Yₓ𝒞_ ₓₓ⁻¹k(X,·) 其中𝒞_ Yₓ是交叉协方差算子：𝒞_ Yₓ = 𝔼ₓᵧ[ k(X,·) ⊗ l(Y,·) ] 在贝叶斯推断中，这允许我们直接在RKHS中进行后验更新： μ(θ|D) ∝ μ(D|θ) ∘ μ(θ) 这种方法避免了显式的密度估计，为非参数贝叶斯推断提供了新途径。