可测函数的本质有界性与L^∞空间的关系
- 本质有界性的定义
设\((X, \mathcal{F}, \mu)\)是一个测度空间，\(f: X \to \mathbb{R}\)是可测函数。若存在常数\(M \geq 0\)，使得
\[ \mu(\{x \in X : |f(x)| > M\}) = 0, \]
则称\(f\)是本质有界的。所有这样的\(M\)的下确界称为\(f\)的本质上确界，记作\(\|f\|_\infty\)。
- 本质上确界的等价刻画
\(\|f\|_\infty\)可等价定义为：
\[ \|f\|_\infty = \inf \{ M \geq 0 : \mu(\{|f| > M\}) = 0 \}. \]
该值也等于使\(|f(x)| \leq M\)对几乎处处\(x \in X\)成立的最小常数\(M\)。例如，狄利克雷函数在\([0,1]\)上勒贝格测度意义下\(\|f\|_\infty = 1\)。
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L^∞空间的定义
记\(L^\infty(X, \mu)\)为所有本质有界可测函数构成的集合，其中将几乎处处相等的函数视为同一元素。赋予范数\(\|f\|_\infty\)后，\(L^\infty\)构成一个巴拿赫空间。此处的范数满足：- \(\|f\|_\infty = 0\)当且仅当\(f=0\)（几乎处处）
- \(\|cf\|_\infty = |c| \|f\|_\infty\)（齐次性）
- \(\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty\)（三角不等式）
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与L^p空间的关系
对任意\(p \in [1, \infty)\)，若\(\mu(X) < \infty\)，则存在连续嵌入\(L^\infty(X, \mu) \hookrightarrow L^p(X, \mu)\)，且满足
\[ \|f\|_p \leq \mu(X)^{1/p} \|f\|_\infty. \]
特别地，当\(p \to \infty\)时，有\(\lim_{p \to \infty} \|f\|_p = \|f\|_\infty\)（在\(\sigma\)-有限测度空间成立）。
- 对偶空间的体现
设\(\mu\)是\(\sigma\)-有限测度，则\((L^1(X, \mu))^*\)等距同构于\(L^\infty(X, \mu)\)。具体而言，对每个\(g \in L^\infty\)，可定义\(L^1\)上的连续线性泛函：
\[ T_g(f) = \int_X fg \, d\mu, \]
且\(\|T_g\| = \|g\|_\infty\)。这表明\(L^\infty\)是\(L^1\)的对偶空间。
- 应用示例
在傅里叶分析中，卷积算子\(T: f \mapsto f * g\)的有界性（当\(g \in L^\infty\)时）可直接由本质有界性保证。此外，在偏微分方程理论中，\(L^\infty\)范数常用于估计解的最大模。