平行四边形的仿射不变量 我们先从平行四边形的基本定义开始。平行四边形是一个四边形，其对边两两平行。这个性质意味着它的对边长度相等，对角大小也相等。 现在，我们引入“仿射变换”的概念。仿射变换是几何学中的一类变换，它包括平移、旋转、缩放（均匀或非均匀）和剪切。关键的一点是，仿射变换保持直线的“平行性”。也就是说，如果两条直线在变换前是平行的，那么变换后它们仍然是平行的。 由于平行四边形的定义核心就是“对边平行”，而仿射变换保持平行性，因此一个平行四边形在经过任何仿射变换后，仍然是一个平行四边形。这是平行四边形在仿射变换下的一个最基本的“不变性”——其作为“平行四边形”的类别属性是不变的。 接下来，我们探讨更精细的“仿射不变量”。一个重要的不变量是“面积比”。具体来说，考虑平行四边形内部的一条对角线，这条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形。现在，在平行四边形内部任意取一点，并将这一点与四个顶点分别连接，形成四个小三角形。这些三角形的面积之间存在特定的比例关系，这些比例关系在经过仿射变换后是保持不变的。例如，无论你如何对这个平行四边形进行仿射拉伸或剪切，这些由内部一点划分出的四个三角形的面积之比是恒定不变的。 更一般地，平行四边形的任何由点和线划分所产生的面积比例，在仿射变换下都是不变的。这是因为仿射变换会以相同的方式改变所有区域的面积（乘以一个常数因子，即变换的雅可比行列式），因此它们之间的比例得以保持。 最后，我们讨论“共轭直径”的斜率积。在平行四边形中，可以定义一对共轭直径。它们是一组通过平行四边形中心（两条对角线的交点）的线段，并且满足特定的方向关系。对于平行四边形，其一对共轭直径的斜率的乘积是一个常数，这个常数在仿射变换下是保持不变的。这个性质将平行四边形的仿射性质与圆锥曲线的仿射性质联系了起来。 总结来说，平行四边形在仿射变换下，不仅其“平行四边”的形状属性得以保持，其内部结构（如面积比）和方向关系（如共轭直径的斜率积）也存在着深刻的不变量。这些不变量是仿射几何学研究的重要内容。