模的平坦维数 我们先从模的平坦性回顾开始。一个右 R-模 F 称为平坦模，如果函子 \(F \otimes_ R -\) 是正合的，也就是将任意左 R-模的正合序列映成 Abel 群的正合序列。等价地，F 平坦当且仅当对任意左 R-模的单同态 \(A \to B\)，诱导的 \(F \otimes_ R A \to F \otimes_ R B\) 也是单同态。 步骤 1：平坦维数的引入 对于任意 R-模 M，不一定平坦，我们可以用平坦模去“逼近”它。一个平坦分解是指一个正合序列 \[ \cdots \to F_ 2 \to F_ 1 \to F_ 0 \to M \to 0 \] 其中每个 \(F_ i\) 是平坦模。 平坦维数（flat dimension）定义为 M 的所有平坦分解中长度的下确界，记作 \(\mathrm{fd} R(M)\)。更精确地，如果存在平坦分解在 F_ n 处截断（即 F {n+1}=0 且仍正合），则平坦维数 ≤ n；如果不存在更短的，则平坦维数 = n。若 M 本身是平坦模，则平坦维数为 0。若没有有限长度的平坦分解，平坦维数为无穷。 步骤 2：用 Tor 函子刻画平坦维数 Tor 函子 \(\mathrm{Tor}_ n^R(M,-)\) 是导出函子，可通过平坦分解或任何分解计算。关键定理： \[ \mathrm{fd} R(M) \le n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Tor} {n+1}^R(M,N) = 0 \quad \text{对所有左 R-模 } N. \] \[ \mathrm{fd}_ R(M) = \sup\{ n \mid \exists N,\ \mathrm{Tor}_ n^R(M,N) \ne 0 \}. \] 理由：如果 F_* → M 是平坦分解，则 \(\mathrm{Tor} n(M,N) = H_ n(F * \otimes_ R N)\)。若在 F_ n 处之后为 0，则 n+1 次及以上的 Tor 为零；反之，若对所有 N 有 \(\mathrm{Tor}_ {n+1}(M,N)=0\)，则可在构造平坦分解时于第 n 步保证核是平坦模，从而分解可终止于 n。 步骤 3：与投射维数的比较 投射模一定是平坦模，所以有不等式： \[ \mathrm{fd}_ R(M) \le \mathrm{pd}_ R(M) \] 其中 \(\mathrm{pd}_ R(M)\) 是投射维数。 当 R 是诺特环且 M 有限生成时，有 \(\mathrm{fd}_ R(M) = \mathrm{pd}_ R(M)\)，这是非常重要的性质。 步骤 4：整体维数与弱整体维数 环 R 的右整体维数 \(\mathrm{r.gl.dim}(R)\) 定义为所有右 R-模的投射维数的上确界。 而弱整体维数（weak global dimension）定义为 \[ \mathrm{w.gl.dim}(R) = \sup\{ \mathrm{fd}_ R(M) \mid M \text{ 是右 }R\text{-模} \} = \sup\{ \mathrm{fd}_ R(N) \mid N \text{ 是左 }R\text{-模} \} \] （对称的，对左右模结果一样） 并且有： \[ \mathrm{w.gl.dim}(R) = \sup\{ n \mid \exists M,N,\ \mathrm{Tor}_ n^R(M,N) \ne 0 \}. \] 显然 \(\mathrm{w.gl.dim}(R) \le \mathrm{r.gl.dim}(R)\)。 步骤 5：例子 若 R 是域，所有模自由，平坦维数 = 0，弱整体维数 = 0。 若 R 是主理想整环，任何模的平坦维数 ≤ 1，且弱整体维数 ≤ 1（实际上等于 1 除非是域）。 若 R 是局部环，且满足所有有限生成平坦模是自由模，则平坦维数可通过极小平坦分解研究。 若 R 是诺特环，M 有限生成，平坦维数等于投射维数，可用正则局部环理论得到有限平坦维数等价于有限投射维数。 步骤 6：同调代数意义 平坦维数衡量模离平坦有多“远”。它在模论、交换代数、代数几何中很重要，比如在相交理论、纯性定理中，平坦维数控制着退化族的行为。 在代数几何中，概形上的拟凝聚层 F 在一点 x 的 Tor-维数（Tor-dimension）类似于平坦维数，用于刻画局部完全交等性质。