模形式的自守L-函数的p进L函数与Iwasawa理论 我们先从模形式的基本概念开始。模形式是定义在复上半平面上的全纯函数，满足特定的变换性质。例如，一个权为k、级为N的模形式f(z)在模群Γ₀(N)作用下满足： \[ f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z) \] 其中，矩阵\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)属于Γ₀(N)。 模形式的傅里叶展开为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^\infty a_ n e^{2\pi i n z} \] 系数a_ n包含了算术信息。 接下来，我们考虑模形式的L函数。对于一个模形式f，其L函数定义为： \[ L(f,s) = \sum_ {n=1}^\infty \frac{a_ n}{n^s} \] 这个L函数可以解析延拓到整个复平面，并满足函数方程。 现在，我们进入p进理论的部分。p进数域ℚ_ p是实数域ℝ的一种替代完备化，其上的分析称为p进分析。在p进分析中，我们考虑模形式系数的p进性质。 模形式的p进族是一族p进模形式，其傅里叶系数随某个参数连续变化。具体来说，设有一个权为k的p进模形式族{f_ k}，其中k在p进整数环ℤ_ p中变化，且傅里叶系数a_ n(k)是ℤ_ p上的连续函数。 对于这样的p进模形式族，我们可以构造p进L函数。p进L函数是复L函数的p进类比，它捕捉了L函数在p进域上的特殊值信息。具体构造如下： 首先，通过将模形式的L函数与一个特征χ相乘并求和，得到： \[ L_ p(f,\chi,s) = \int_ {\mathbb{Z}_ p^\times} \chi(x) \langle x\rangle^{s-1} d\mu_ f(x) \] 这里μ_ f是一个与模形式f相关的p进测度，称为p进分布。 现在，我们引入Iwasawa理论。Iwasawa理论主要研究p进李群上的模结构，特别是研究数域的p进扩张中的算术不变量。设Γ = Gal(ℚ(μ_ {p^∞})/ℚ) ≅ ℤ_ p，考虑其Iwasawa代数Λ = ℤ_ p[ [ Γ] ]。 在模形式的情形，我们考虑模形式L函数的p进族在Iwasawa代数上的行为。具体来说，存在一个元素ℒ_ f ∈ Λ，称为p进L函数，使得对任意特征χ和整数k，有： \[ \chi(\mathcal{L}_ f) = L_ p(f,\chi,k) \] 这个等式建立了p进L函数与复L函数特殊值之间的联系。 Iwasawa理论的一个关键结果是主猜想，它断言p进L函数ℒ_ f在Iwasawa代数Λ中生成的理想等于某个特征理想的算术对应物。用公式表示就是： \[ (\mathcal{L}_ f) = \text{char}(X) \] 其中X是某个Selmer群的Pontryagin对偶。 最后，我们来看一个具体例子。考虑权为2、级为11的模形式f对应的椭圆曲线。其p进L函数在s=1处的值与该曲线的Mordell-Weil秩相关。通过Iwasawa理论，我们可以研究当p变化时，这些算术不变量如何变化。 总结来说，模形式的自守L-函数的p进L函数与Iwasawa理论为我们提供了研究模形式算术性质的有力工具，通过p进分析和代数方法的结合，揭示了模形式在不同素数处的深刻算术规律。