非线性规划中的精确罚函数法

我将为您详细讲解精确罚函数法的核心概念、原理和应用。让我们从基础开始逐步深入。

1. 罚函数法的基本思想
   罚函数法是处理约束优化问题的重要方法。其核心思想是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。具体来说，对于原约束问题：
   min f(x), s.t. g_i(x) ≤ 0 (i=1,...,m), h_j(x) = 0 (j=1,...,p)
   我们构造罚函数：P(x) = f(x) + μ·Φ(x)
   其中μ是罚参数，Φ(x)是惩罚项，用于度量约束违反程度。

2. 传统罚函数的局限性
   传统罚函数（如二次罚函数）需要罚参数μ趋于无穷大才能保证收敛到精确解。这会导致数值计算困难：

• 当μ很大时，罚函数的海塞矩阵条件数很差
• 优化过程变得数值不稳定
• 收敛速度受到影响

3. 精确罚函数的关键突破
   精确罚函数法的核心创新在于：存在有限的罚参数μ*，当μ ≥ μ*时，无约束优化问题的最优解就是原约束问题的最优解。这意味着我们不需要让μ趋于无穷大。

4. l₁精确罚函数
   最经典的精确罚函数是l₁罚函数：
   P₁(x) = f(x) + μ∑|h_j(x)| + μ∑max(0, g_i(x))
   这个函数具有以下重要性质：

• 在满足一定约束品性下，存在有限的μ* > 0
• 当μ ≥ μ*时，无约束问题min P₁(x)的最优解就是原问题的最优解
• 函数在不可微点处仍然保持方向可微性

5. 精确性的数学原理
   精确性的本质在于：当罚参数足够大时，罚函数的任何局部极小点都对应原问题的可行点。从几何角度看，大的罚参数在不可行区域创造了陡峭的"悬崖"，迫使优化过程向可行域移动。

6. 数值实现考虑
   在实际计算中需要处理几个关键问题：

• 不可微点的处理：使用次梯度或光滑化技术
• 罚参数选择：自适应调整策略
• 收敛性保证：在适当的假设下具有全局收敛性

7. 与其他方法的比较
   与增广拉格朗日法相比，精确罚函数：

• 优点：不需要估计拉格朗日乘子
• 缺点：可能数值性态较差，需要处理不可微性

精确罚函数法在工程优化、经济建模等领域有广泛应用，特别是在需要精确满足约束的场合。