博雷尔-σ-代数的强可分性与可分性的关系 我们先从可分性开始理解。一个拓扑空间称为可分的，是指它包含一个可数的稠密子集。例如，实数轴 \(\mathbb{R}\) 在通常拓扑下是可分的，因为有理数集 \(\mathbb{Q}\) 是可数的且在 \(\mathbb{R}\) 中稠密。 现在考虑一个拓扑空间 \(X\) 及其上的博雷尔-σ-代数 \(\mathcal{B}(X)\)，即由所有开集生成的σ-代数。我们说 \(\mathcal{B}(X)\) 是可分的，如果存在一个可数集合 \(\mathcal{C} \subset \mathcal{B}(X)\) 使得 \(\mathcal{B}(X) = \sigma(\mathcal{C})\)，即 \(\mathcal{C}\) 生成整个博雷尔-σ-代数。 然而，可分性有时不够强，因此我们引入强可分性。\(\mathcal{B}(X)\) 是强可分的，如果存在可数集合 \(\mathcal{D} \subset \mathcal{B}(X)\) 使得对于任意博雷尔集 \(B \in \mathcal{B}(X)\) 和任意测度 \(\mu\)（通常考虑博雷尔测度），有： \[ \mu(B) = \sup \{ \mu(D) : D \subset B, D \in \mathcal{D} \} \] 并且 \[ \mu(B) = \inf \{ \mu(D) : B \subset D, D \in \mathcal{D} \} \] 这实际上意味着 \(\mathcal{D}\) 在测度意义下“逼近”所有博雷尔集。 现在，我们探讨两者的关系。首先，如果 \(\mathcal{B}(X)\) 是强可分的，那么它必然是可分的。因为强可分性中的可数集 \(\mathcal{D}\) 直接生成了σ-代数，即 \(\mathcal{B}(X) = \sigma(\mathcal{D})\)，这由测度逼近性质和博雷尔集的定义保证。 反之，如果 \(\mathcal{B}(X)\) 是可分的，它不一定是强可分的。例如，考虑一个不可度量化的拓扑空间，其中存在博雷尔集无法用可数生成集从测度上逼近。但在许多常见空间中，两者是等价的。 一个关键结果是：如果 \(X\) 是第二可数的（即拓扑有可数基），则 \(\mathcal{B}(X)\) 是可分的，并且如果 \(X\) 还是完备可分的度量空间（即波兰空间），则 \(\mathcal{B}(X)\) 是强可分的。证明思路是，可数基生成博雷尔-σ-代数，而在波兰空间中，可以利用度量结构和完备性构造可数集族，使其满足强可分性的测度逼近条件。 具体地，设 \(X\) 是波兰空间，\(\mathcal{U} = \{U_ 1, U_ 2, \dots\}\) 是其可数拓扑基。则 \(\mathcal{D}\) 可取为所有有限交和并的集合，它可数且生成 \(\mathcal{B}(X)\)。对于任意博雷尔集 \(B\) 和测度 \(\mu\)，由博雷尔测度的正则性，存在开集 \(G \supset B\) 和紧集 \(K \subset B\) 使得 \(\mu(G \setminus K) < \varepsilon\)。由于 \(G\) 可表为 \(\mathcal{U}\) 中元素的可数并，\(K\) 可被有限个基元素覆盖，通过 \(\mathcal{D}\) 中的集合可以逼近 \(G\) 和 \(K\)，从而逼近 \(B\)，满足强可分性条件。 总结来说，在一般拓扑空间中，博雷尔-σ-代数的强可分性蕴含可分性，但逆不真；在波兰空间等性质良好的空间中，两者等价。这一关系在测度论和概率论中非常重要，例如在构造随机过程和研究测度的紧性时。