模的Yoneda引理 我们先从范畴论的基本概念开始。范畴由对象和对象之间的态射组成。例如，所有模构成一个范畴，其中对象是模，态射是模同态。 接下来是函子的概念。一个函子是从一个范畴到另一个范畴的映射，它把对象映到对象，把态射映到态射，并保持恒等态射和态射的复合。特别地，从模范畴到集合范畴的函子称为集合值函子。 现在考虑一个模M。我们可以定义两个重要的函子： Hom(M,-)：这个函子把模N映到集合Hom(M,N)，即所有从M到N的模同态的集合 Hom(-,M)：这个函子把模N映到集合Hom(N,M) Yoneda引理的核心思想是：一个模M可以由它的"表现方式"——即Hom(M,-)或Hom(-,M)这两个函子——来完全刻画。 具体来说，Yoneda引理分为两部分： 对于Hom(M,-)：任意自然变换从Hom(M,-)到另一个函子F，都唯一对应于F(M)中的一个元素。这意味着Hom(M,-)这个函子完全决定了模M。 对于Hom(-,M)：任意自然变换从Hom(-,M)到另一个函子F，都唯一对应于F(M)中的一个元素。这意味着Hom(-,M)这个函子也完全决定了模M。 Yoneda引理的重要性在于它告诉我们，研究一个模等价于研究它与其他模的所有可能关系（通过同态）。这为研究模的分类和性质提供了强有力的工具。