复变函数的欧拉公式与指数函数 我们先从最基本的指数函数概念开始。在实数域中，指数函数 eˣ 具有很好的性质，比如导数等于自身。现在我们要把这个概念推广到复数域。 设 z = x + iy 是一个复数，其中 x, y 是实数。复指数函数 eᶻ 定义为： eᶻ = eˣ(cos y + i sin y) 这个定义看起来可能有些突然，但实际上它是通过保持指数函数的核心性质（如导数性质）来自然推广的。特别地，当 z 是纯虚数时（即 x=0），我们得到欧拉公式： eⁱʸ = cos y + i sin y 这个公式建立了指数函数与三角函数之间的深刻联系。当 y = π 时，我们得到著名的欧拉恒等式： eⁱπ + 1 = 0 这个恒等式将数学中五个最重要的常数（0, 1, i, π, e）联系在一个等式中。 复指数函数具有以下关键性质： 在整个复平面上解析（全纯） 导数仍为自身：(eᶻ)' = eᶻ 保持加法定理：eᶻ¹⁺ᶻ² = eᶻ¹eᶻ² 是周期函数，周期为 2πi 这些性质使得复指数函数成为研究其他初等复变函数的基础。比如，我们可以通过指数函数来定义复三角函数： sin z = (eⁱᶻ - e⁻ⁱᶻ)/(2i) cos z = (eⁱᶻ + e⁻ⁱᶻ)/2 欧拉公式的重要性不仅在于其形式优美，更在于它提供了在复平面上理解函数行为的强大工具。通过这个公式，我们能够将三角函数的许多实变量性质自然地推广到复域，并深入研究这些函数在复平面上的全局性质。