范畴论中的米田引理 范畴论中的米田引理（Yoneda Lemma）是描述范畴中对象与其到集合的函子之间关系的核心定理。为了逐步理解它，我们需要从基础概念开始构建。 1. 范畴的基本定义 范畴 由以下组成： 对象 （如集合、群、拓扑空间等）。 态射 （对象间的箭头，满足结合律和单位律）。 例如，集合范畴 Set 的对象是集合，态射是函数。 局部小范畴 ：任意两个对象间的态射构成一个集合（而非真类）。后续讨论均默认此类范畴。 2. 预层与可表函子 预层 ：从范畴 \(\mathcal{C}\) 到集合范畴 Set 的逆变函子（即反转变射方向的函子）。 可表函子 ：若预层 \(F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}\) 与某个对象 \(A\) 的态射函子 \(\mathrm{Hom}_ {\mathcal{C}}(-, A)\) 同构，则称 \(F\) 由 \(A\) 表出。 示例 ：在群范畴 Grp 中，遗忘函子 \(U: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}\) 可由自由群 \(\mathbb{Z}\) 表出，因为任意群同态 \(\mathbb{Z} \to G\) 唯一对应 \(G\) 中一个元素。 3. 米田嵌入 定义函子 \(h_ A := \mathrm{Hom} {\mathcal{C}}(-, A)\)，它将对象 \(X\) 映射到集合 \(\mathrm{Hom} {\mathcal{C}}(X, A)\)。 米田嵌入 是函子 \( \mathcal{C} \to [ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}] \)，将对象 \(A\) 映射为 \(h_ A\)，将态射 \(f: A \to B\) 映射为自然变换 \(h_ f: h_ A \to h_ B\)。 性质 ：米田嵌入是 完全忠实 的，即 \(\mathrm{Hom} {\mathcal{C}}(A, B) \cong \mathrm{Hom} {[ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]}(h_ A, h_ B)\)。这意味着范畴 \(\mathcal{C}\) 可嵌入到其预层范畴中。 4. 米田引理的陈述 设 \(\mathcal{C}\) 为局部小范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}\) 为预层，则存在双射： \[ \mathrm{Nat}(h_ A, F) \cong F(A) \] 其中 \(\mathrm{Nat}(h_ A, F)\) 是从 \(h_ A\) 到 \(F\) 的自然变换的集合。 具体对应 ： 对任意自然变换 \(\alpha: h_ A \to F\)，对应元素 \(\alpha_ A(\mathrm{id}_ A) \in F(A)\)。 对任意元素 \(u \in F(A)\)，定义自然变换 \(\alpha^u: h_ A \to F\)，使得对任意对象 \(X\) 和态射 \(f: X \to A\)，有 \(\alpha^u_ X(f) = F(f)(u)\)。 5. 米田引理的应用与意义 唯一性 ：对象 \(A\) 由其态射函子 \(h_ A\) 唯一决定（在同构意义下）。这是范畴论中“对象由其与其他对象的关系确定”的体现。 泛性质 ：可表函子的泛元素（如 \(u \in F(A)\)）可通过米田引理构造。 计算工具 ：在代数几何与拓扑中，米田引理用于将几何对象转化为函子，从而利用泛性质研究模空间等问题。 6. 进阶推广 充实米田引理 ：当范畴的态射集具有额外结构（如向量空间）时，米田引理可推广到充实范畴。 高阶范畴 ：在 \((\infty,1)\)-范畴中，米田引理是导出代数几何的基石。 通过以上步骤，我们看到了米田引理如何从范畴的基本概念逐步构建，并成为连接范畴论与其他数学分支的桥梁。其核心思想是：对象的行为完全由它到其他对象的态射决定。